105 (Matematisk Tidsskrift / A. Aargang 1919)

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>

Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

Identiteten

x³ = x(x + 1)(x + 2) - 3·x(x + 1) + x (3)

giver paa samme Maade

[sigma]n³ = 1·2·3 + 2·3·4 +...+ n(n + 1)(n + 2) (4)
- 3(1·2 + 2·3 +···+ n(n + 1))
+ (1 + 2 + 3 +...+ n).
= R₃ - 3R₂ + R₁.

Identiteterne (1) og (3) kan findes saaledes:

Man sætter (idet Tegnet == [tredobbelt lighedstegn] betyder »identisk lig med«):

        x² == a·x(x + 1) + b·x,

der omskrives til

        x² == ax² + (a + b)·x.

Heri maa a være = 1 og a + b = 0; altsaa b = -1,

Dernæst sætter man

        x³ == a·x(x + 1)(x + 2) + bx(x + 1) + c·x,

der omskrives til

        x³ == a·x³ + (3a + b)x² + (2a + b + c)·x.

Ved Sammenligning af Koefficienterne faas

        a = 1,         b = -3,         c = 1.

Hvorledes Opsummeringen af Rækkerne R₁, R₂, R₃...R_p
foregaar, skal her kun vises for R₃’s Vedkommende.

Man har, idet man deler 4 i 0 + 4, 5 i 1 + 4,... n + 3 i
(n - 1) + 4,

1·2·3·4 = 0·1·2·3 + 4·1·2·3
2·3·4·5 = 1·2·3·4 + 4·2·3·4
3·4·5·6 = 2·3·4·5 + 4·3·4·5
.............................
.............................
(n - 1)n(n + 1)(n + 2) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 4(n - 1)n(n + 1)
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 4·n(n + 1)(n + 2)

hvoraf ved Addition:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = 4[1·2·3 + 2·3·4 +...+ n(n + 1)(n + 2)],

som giver

R₃ = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/4.

Paa lignende Maade finder man

<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>

Project Runeberg, Sun Dec 10 16:30:15 2023 (aronsson) (diff) (history) (download) << Previous Next >> https://runeberg.org/matetids/1919a/0111.html

		Matematisk Tidsskrift / A. Aargang 1919 / 105 (1919-1922) Table of Contents / Innehåll \| << Previous \| Next >>
	Project Runeberg \| Catalog \| Recent Changes \| Donate \| Comments? \|