Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
1 6
HARALD BOHR:
2. Ved Hjælp af denne Metode til Afgørelse af, hvorvidt
et paa en Potensrækkes Konvergenscirkel beliggende Punkt er
regulært eller singulært for den ved Rækken fremstillede
analytiske Funktion, kan man, som bemærket af Landau *),
umiddelbart bevise følgende vigtige Sætning af Vivanti.
Sætning L Er i en Potensrække (i) med
Konvergensradius p alle Koefficienterne an reelle Tal ^ o,
da er det Punkt p paa Konvergenscirklen, hvori
denne skæres af den positive Halvakse, altid et
singulært Punkt for Funktionen /"(#).
Bevis. Vi fører Beviset indirekte og antager altsaa, at
Punktet p var et regulært Punkt for _/(#); da vilde Potens-
rækken i den Variable (z – -
\ 2
/w =
B-
have sin Konvergensradius ^> - og altsaa for et tilstrækkeligt
lille 6^>o være konvergent i Punktet z = p -|- 8, d. v. s. Rækken
v!
2 / / _f^
2
vilde være konvergent. Nu er imidlertid i Følge Formel (2)
=jv-u^p
^.^ \V/ - \ 2 /
og Dobbeltrækken
(hvor Summationen først skal udføres efter n, derefter efter v)
vilde altsaa være konvergent. I denne Dobbeltrække er imid-
*) Angaaende Litteraturen henvises Læseren til den nylig udkomne lille Bog
af E. Landau’ Darstellung und Begründung ei niger neuerer
Ergebnisse ;der Funktion e n theori e. Berlin, 1916.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
