Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
i8 HARALD BOHR:
Den ovenfor benyttede Hjælpesætning om, at
Summations-ordenen i en Dobbeltrække (4) er ligegyldig, bevarer som
bekendt sin Gyldighed, selvom Forudsætningen om, at alle
Tallene an,v skal være positive, erstattes af den (mindre)
Forudsætning, at disse Tal, opfattet som Vektorer i en kompleks
Plan, skal være blot »væsentlig ensrettede«, d. v. s. at
alle Punkter (Tal) a"fV skal ligge i et fast Vinkelrum ReiS,
karakteriseret ved Ulighederne R ^ o, V < Ø < W, hvor
£J7- V<^K\ heraf følger umiddelbart (som et Blik paa det
Ovenstaaende Bevis viser), at Sætning I kan generaliseres til
følgende Sætning, den saakaldte Vivanti-Diene’S’ske Sætning.
Sætning II. Er i en Potensrække (i) med
Konvergensradius p alle Koefficienterne an beliggende i
et Vinkelrum Rel®, R^o, F<0<iPF, hvor W-V<n,
da vil Punktet £ - p være et singulært Punkt for
Funktionen f (z).
Heraf følger atter (ved Transformationen z - z^-e®^ at
hvis 90 er et saadant reelt Tal, at alle Tallene anein^ ligger i
et fast Vinkelrum, hvis Vinkelaabning er < JT, da vil Punktet
peiQ° være et singulært Punkt for f (2), eller i lidt anden
Formulering:
Sætning III. Er.#0 et’saadant Punkt paa
Konvergenscirklen l^l-p, at i dette Punkt alle Leddene
anZo - eller, hvad der i denne Sammenhæng
naturligvis kommer ud paa det samme, alle Leddene anz^
fra et vist Trin af, d. v. s. for n^>N - er beliggende
i et Vinkelrum Re*\ R^o, F<0<H/; hvor W-V<n,
da vil Punktet £0 være et singulært Punkt for
Funktionen f (z).
3. Den ved en Potensrække fremstillede analytiske
Funktion siges at have Konvergenscirklen \z\~p til naturlig
Grænse, dersom alle "Punkter paa Konvergenscirklen er
singulære Punkter for f (z). Af stor Interesse er her en
Sætning af Hadamard, der har faaet Navnet den Hadamard’ske
»Hulsætning«, fordi den handler om Potensrækker, i hvis
Koefficientfølge #0, al9 a%,..... der er store »Huller«, d. v. s.
hvor talrige Koefficienter har Værdien Nul Idet vi kun
opskriver de Led anzn, for hvilke an ^- o, kan denne Sætning
formuleres saaledes:
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
