Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
OM DEN HADAMARD’SKE »HULSÆTNING«. 19
Hadamard’s Sætning. For enhver Potensrække
00
F (z) = ^ ampzmP (o < m± < m% < ... . .), (5)
P=I
der opfylder Betingelsen
hvor £ er en Konstant >> i , er Konvergenscirklen
z =p den naturlige Grænse for Funktionen F (z).
Der er af forskellige Matematikere givet Beviser for denne
Sætning, hvilke Beviser imidlertid alle er meget sammensatte
og derved ret vanskelige at gennemskue. Det er maaske
derfor af nogen Interesse at vise, hvorledes den Hadamard’ ske.
Sætning i et Specialtilfælde, nemlig naar Konstanten k
er > 3> uden Vanskelighed kan bevises ved Hjælp af den
Vivanti- Dienesske Sætning III, hvorved man, som det vil
fremgaa af det Følgende, faar et overmaade anskueligt Bevis for
Sætningen i dette Tilfælde.
Bevis for Hadamard’s Sætning i Tilfældet k > 3. For
at bevise, at Konvergenscirklen z \ - p er den naturlige
Grænse for den ved Potensrækken (5) fremstillede Funktion
F (z), altsaa at alle Punkter paa denne Cirkel er singulære,
er det tilstrækkeligt at vise, at de singulære Punkter ligger
overalt tæt paa Cirklen | z \ = p, d. v, s. at der paa
enhver (selv nok saa lille) Bue^ af Kon ve rgenscirklen
findes et singulært Punkt; thi heraf vil følge, at ethvert
Punkt af Cirklen er singulært, idet jo et Fortætningspunkt for
singulære Punkter selv er et singulært Punkt.
Vi betragter et vilkaarligt Led amzm i Potensrækken (5);
lader vi z gennemløbe Konvergenscirklen z = p een Gang, i
positiv Omløbsretning og med konstant Vinkelhastighed, vil
Størrelsen Z=amzm aabenbart gennemløbe Cirklen \Z\ = \am -pm
netop m Gange i positiv Omløbsretning og med en
Vinkelhastighed, der er m Gange saa stor som den, hvormed z gennem-
= p. Heraf følger, at de Punkter z paa
p, for hvilke det gælder, at Punktet
løber sin Cirkel
Konvergenscirklen
Z–amzm ligger i et givet Vinkelrum Rei&, R ^ o,
hvor W- F<CTI, vil udfylde m lige store og over Cirklen
|#| = p jævnt fordelte Buer, der hver har Vinkelstørrelsen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
