Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
34 N. E. NØRLUND:
De Bernoulli’ske Tal besidder interessante talteoretiske
Egenskaber, og de spiller en vigtig Rolle ved flere
Undersøgelser i Særdeleshed i Differensregningen. Dette viser sig
allerede véd Behandlingen af følgende Problemer.
Lad os betragte Differensligningen
hvor v er et helt positivt Tal. Man kan finde et Polynomium
f(x\ som tilfredsstiller denne Ligning. Dette Polynomium er
af Graden v, og det er bestemt paa en arbitrær Konstant nær.
Ved det Bernoulli’ske Polynomium*) af Graden v
forstaar man det Polynomium Bv(x\ som tilfredsstiller Diffe-
rensligningen
Bv (*+i) - Bv (#) - v^’-i f (2)
og som for x = o er lig med det Bernoulli’ske Tal Bv
Bv(o) = Bv.
Lad os sætte
Substituerer man dette Udtryk i Ligningen (2), saa ser man,
at Koefficienterne A8 skal tilfredsstille Rekursionsformelen
Men dette er netop den Formel, ved hvilken vi har defineret
de Bernoulli’ske Tal; man har altsaa AS~BS og følgelig
*) Der kan herske nogen Tvivl om, hvorledes man bedst skal definere de
Bernoulli’ske Polynomier, og dette fremtræder paa en ulykkelig Maade i
den meget omfattende Litteratur. Hvis man kun tænker paa en enkelt
Side af Sagen, f. Eks. de talteoretiske Anvendelser, saa kan flere
forskellige Definitioner forekomme ligeberettigede, men tager man Hensyn
til samtlige Egenskaber hos disse Polynomier, saa kan der ikke være Tvivl
om, at den ovennævnte Definition er at foretrække frem for alle andre.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
