Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
3^ N. E. NØRLUND :
Heraf følger, ät man har den symbolske Ligning
<p(Æ+i) -9(A) = 9’ (o), (8)
hvor 9 (z) er et vilkaarligt Polynomium i z. Erstatter man
<p (z] med ep (z -j- x] faar man
<p(* + Æ + i) - <p (* + £) = <[>’ (*). (9)
Differensligningen
./(*+’) -/(*)=.*»,. (io)
hvor 9 (#) er et givet Polynomium, har altsaa Løsningen
9’"
Antager vi specielt, at 9 (%] = xv, saa følger det umidde l
bart af de Bernoulli’ske Polynomiers Definition, at man har
Bv(x)=(x+B)\ (12)
Udvikler man højre Side, saa genfinder man Ligningen (3).
Erstatter man % med x -\- h> saa faar man
Bv(x+A)=’(^ + B + AYJ (S bis)
og hvis man her udvikler højre Side efter Potenser af h saa
genfinder man Relationen (5).
(n) er forøvrigt kun et specielt Tilfælde af en almindeligere
Formel. Erstatter man nemlig x med x + h, saa finder man
.f(x + A)t=.<p(x + B + A) = y(x+ B(k)}, altsaa
/(*+*) -9M+^T]r) 9’ W + ^fV’W + -^-V W+ . . -(13)
ii £ , j .
Man verificerer ogsaa let direkte, at dette Polynomium
tilfredsstiller Difierensligningen (io). Man behøver blot at
anvende Differensoperationen paa den Variable h.
De talrige Anvendelser, som man i Differensregningen kan
gøre af de Bernoulli’ske Polynomier, kan næsten altid føres
tilbage til den vigtige Formel (13), som kun ved sin ydre
Form adskiller sig fra den berømte Euler’ske SummationsformeL
Lad os endnu bemærke, at man kan opfatte (9) som en
Rekursionsformel for de Bernoulli’ske Polynomier; (9) kan
nemlig i Følge (12) skrives paa Formen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
