Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
. 4O N. E. NØRLUND;
-(- i)v(A2v(^)- #2v)>o, hvis.Q<*<f (23)
Paa den anden Side har vi set, at
Der findes altsaa i det indre af Intervallet o < x < ± et
"’Punkt #o» i hvilket Differentialkvotienten af Z?2v+i(#)"og altsaa
ogsaa ^2v(#) forsvinder. Sætter vi i Uligheden (23) # = #0, faas
v>6. (24)
Vi kan nu vise, at man har
(- iy+1ßto+i(x)>o, hvis o<#<i. (25)
Thi Funktionen paa venstre Side bliver Nul i Punkterne o
og ^, men den kan ikke blive Nul i noget Punkt i det indre
af Intervallet o<^<^; thi i saa Fald vilde dens
Differentialkvotient blive Nul i mindst to Punkter i det indre af
Intervallet, og dens Differentialkvotient af anden Orden (eller <S2v- iC*))
vilde have mindst et Nulpunkt i det indre af Intervallet ; men
dette strider mod Uligheden (22). For at vise Rigtigheden af
\ (25) er det nu tilstrækkeligt at bemærke, at for meget smaa
positive Værdier af x har Funktionen paa venstre Side samme
Fortegn som ( - i)v+1Av. Og dette Tal er i Følge (24) positivt.
Ved Hjælp af Relationen
B4i-x)^(-iYB,(x} (26)
kan man nu gøre sig klart, hvorledes vore Polynomier
forholder sig i Intervallet ^ <C # < i. Af (25) følger, at
’(- i)*Av+1(*)>o, hvis l<*<i.
Videre ser man, at Uligheden (23) er gyldig i hele
Intervallet o< #< r.
Polynomiet ß^v+i^) forsvinder altsaa i Punkterne o, -| og
. i, og det har ingen andre Nulpunkter i Intervallet o<x< i.
De nævnte Nulpunkter er af første Orden, thi B^(x) et for-
skellig fra Nul i disse Punkter, hvilket fremgaar af Uligheden
{24) og Ligningerne (17) og (19).
Polynomiet B^(x] - B^ har ingen Nulpunkter i det indre
af Intervallet o < #’< i. Men Intervallets Endepunkter o og
i er Nulpunkter af 2den Orden, hvis v>> i, fordi Differential-
^ kvotienten bliver Nul i disse Punkter, medens Differentialkvo-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
