Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
ANTIK OG MODERNE IRRATIONALITETSTEORI. 5
Løsning. Eksistensen af denne Løsning vises ikke i V., men
først ved den geometriske Fjerdeproportionalkonstruktion i
VI. 12. Alle Eksistensbeviser føres hos Euklid ad geometrisk
Vej, og x er jo en geometrisk Størrelse, hvorfor det er
nødvendigt først at udvikle Læren om Proportionernes Anvendelse
i Geometrien i VI. Bog, inden Fjerdeproportionalens Eksistens
kan paavises. VI. 12 lærer altsaa at multiplicere en Størrelse
c med et Tal .
a
Tillige kan man skaffe alle Forhold samme Nævner <:
og saaledes ordne dem efter Størrelse. Man maa dog
lægge Mærke til, at vi her er kommet udenfor
Stør-relseslærens »Almindelige Begreber«. Euklid anvender ikke
disse paa sine Forhold, men beviser udtrykkelig (V. n,
13), at to ligestore Forhold samtidig er lig, større eller
mindre end et tredje. Forholdet er altsaa en ny Tanketing
(Tal), forskellig fra de geometriske Størrelser, som er hentet
fra Anskuelsen. Man har her et Vidnesbyrd om, hvor
dybt Oldtidens Matematikere var trængt ned i Analysen af
Grundbegreberne.
Fra Definitionerne vender vi os nu til det afgørende
Spørgsmaal, om der hos Euklid findes en Irrationalitetsteori, det vil
sige en fuldt begrundet Lære om Regning med
irrationale Tal.
Først Addition. I V. 24 findes en Sætning, som med
vore Betegnelser lyder:
r^ ^1 &2 C\ C2 -i ^1 + C\ &9 + C«
Dersom –- = - og - - ~-> vil -1- – > = .^_L_2- .
Da man ved Hjælp af Fjerdeproportionalen kan skaffe alle
Forhold samme Nævner (a± eller #2), viser denne Sætning, at
man af to Forhold – og -* entydig kan bestemme et For-
hold
– ––––- -, som kan betegnes som deres Sum, og som
Euklid betegner som Additionsforhold (V. Def. 14).
Multiplikation. Ogsaa denne Regningsart findes, men
ikke udtrykt paa vor Maade. Euklid danner af to Forhold
A. og - 1- et nyt Forhold - . Denne Operation, som vi
kal-^i ai a\
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
