Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
8 T. BONNESEN I
Radius. Hertil svarer aritmetisk den periodiske
Kædebrøksud-vikling af de paagældende Kvadratrødder af rationale Tal. Vi
ved, at man altid \ved disse kommer til en Periode; og hvis
man i Oldtiden havde holdt sig til dette Omraade, vilde
An-tanairesis altid kunne give fornøden Oplysning. Men man blev
altsaa ikke staaende herved; Eudoxoss Snit betegner et
mægtigt Skridt fremad; med dette havde man paa engang faaet
ethvert irrationalt Tal indeholdt i Definitionen.
Idet vi nu vender os til den moderne Irrationalitetsteori,
som blev grundlagt omtrent samtidig af G. Cantor, Dedekind
og Weierstrass, kan vi holde os til en enkelt af disse, idet
der trods Forskelligheder i Fremstillingen findes væsentlig
Overensstemmelse i Tankegangen. I Dedekinds »Stetigheit
und irrationale Zahlen« (1872) er Hovedpunkterne
følgende.
I. Grundlaget er Rækken af hele Tal, skabt gennem
Erfaringen. Hovedegenskaben ved Talrækken er, at man altid
kan tælle i frem. Ved Tælning dannes Addition og
Multiplikation. De omvendte Regninger bringer Indførelsen af
Brøker og negative Tal. Hermed er Omraadet R af rationale
Tal skabt.
2. Falder R paa en eller anden Maade i to Klasser Al og
A2 saaledes, at ethvert Tal ax i A± er mindre end ethvert Tal
a2 i A^ kaldes denne Inddeling et Snit i R. Et saadant Snit
kan frembringes af et vilkaarligt rationalt Tal, som da enten
vil være det største Tal i Al eller det mindste i A2. Findes
der intet største Tal i Ai og intet mindste i A2, skal der ved
Snittet være defineret et irrationalt Tal. (De ved Ulighederne
^:2^2, bestemte rationale, positive Tal frembringer f. Eks. et
Snit ]/2). Snittene kan ordnes efter Størrelse. Herved er skabt
Omraadet 91 af reelle Tal.
3. 91 er (i Modsætning til R) kontinuert. Betydningen heraf
ligger i Sætningen: »Falder Systemet 91 af alle reelle Tal i to
Klasser 3lj, SI2 af den Natur, at ethvert Tal aA i Klassen 3^
er mindre end ethvert Tal a2 i 213? saa eksisterer der et og
kun et Tal a, som kan frembringe denne Deling.« Den givne
Deling frembringer nemlig ogsaa en Deling af de rationale
Tal, R, hvorved der bestemmes et Snit, altsaa et rationalt
eller irrationalt Tal a i 91, og det kan vises, at dette netop
har de forlangte Egenskaber.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
