Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
ANTIK OG MODERNE IRRATIONALITETSTEORI. 9
Dedekind bemærker, at han i lange Tider forgæves har
tænkt over Kontinuitetsbegrebet, inden han fandt denne
Forklaring, og i Forordet til »Was sind und was sollen die
Zahlen« (1887) siger han, at hans Teori naar sit Toppunkt i
Beviset for 9t’s Kontinuitet.
4. Regnereglerne for rationale Tal gælder ogsaa for
irrationale Tal. Dedekind angiver Metoder til at bevise dette og
tilføjer: »Man kan saaledes naa til virkelige Beviser for
Sætninger (som f. Eks. )/2 -]/3 = ]/6), der saa vidt jeg ved hidtil
aldrig er bevist.«
5. Grænsebegrebet indføres i 9t. Saaledes gælder
Sætningen: »Vokser en Størrelse bestandig, men ikke over alle
Grænser, saa nærmer den sig en Grænseværdi.« Denne
Sætning er ækvivalent med Kontinuitetssætningen.
Lad os derefter foretage en Sammenligning mellem den
antike og den moderne Teori Punkt for Punkt.
i - 2. Bestemmelsen af de reelle Tal som Snit stemmer i
det væsentlige overens. Aritmetiken maa dog først skabe
Omraadet R af rationale Tal, inden der kan tales om Snit,
medens Geometrien paa Basis af de hele Tal kan
bestemme baade Brøker og de irrationale Tal. Den Forskel,
som fremkommer ved at man i den ene Teori postulerer
Eksistensen af et Tal, naar det er lykkedes at dele R i to
Klasser, og i den anden postulerer et Forhold, naar det ved
en eller anden Konstruktion er lykkedes et bestemme et
Liniestykke ud fra et givet, er ikke væsentlig. Hvis man vil kunne
anvende de reelle Tal i Geometrien (som Abscisser), maa man
postulere Eksistensen af de tilsvarende Punkter. Oprindelig er
man, som Dedekind fremhæver, kommet til de reelle Tal ad
modsat Vej ved at postulere Punkters Bestemmelse ved
Konstruktion.
Men efter at den matematiske Analyse havde naaet en
rig Udvikling, særlig ved Anvendelse af Grænsebegrebet, som
ogsaa Grækerne kendte, men anvendte med nogen
Forsigtighed (smlgn. Zeuthen, Matematikens Historie), var det
nødvendigt at grundlægge Irrationalitetsteorien forfra ad aritmetisk
Vej, alene paa Basis af de hele Tal, uden Benyttelse af
maalelige Størrelser. Formaalet med Dedekinds Teori er netop
at undgaa disse.
Endnu kun et Par Ord om Spørgsmaalet, hvad de rette
Linier, Planer o. s. v. er, som den euklidiske Geometri be-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
