Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
i o T. BONNESEN:
handler. De virkelige, med praktiske Formaal forfærdigede
Planer og rette Linier er i Besiddelse af forskellige Egenskaber,
af hvilke man anser nogle for væsentlige, andre for mindre
betydende. Idet man udelukkende tager de første i
Betragtning og aldrig nævner de andre, kommer man til at operere
med idealiserede Planer og Linier. Naar man i vore Dage vil
karakterisere disse, sker dette igennem Aritmetiken. Planen er
da Indbegrebet af alle reelle Talpar (x, y\ den rette Linie
Indbegrebet af alle de Talpar, som tilfredsstiller den lineære
Ligning ax -f- by + c - o o. s. v. Man skelner saaledes mellem
Virkelighedens Geometri og den aritmetiske Geometri.
4. Regningsarterne. Vi har set, at den euklidiske
Teori ikke alene giver Definitioner paa irrationale Tal eller,
om man vil, Kriterier paa Forholds Ligestorhed, men ogsaa
fuldtud begrunder de elementære Regningsarter. Herved
bliver der Brug for Fjerdeproportionalen, d. v. s. Konstruktion af
^n Størrelse, hvis Forhold til en given Størrelse er lig et givet
Forhold. Den aritmetiske Teori, som kun betragter Tallene,
har ingen Brug for en saadan Konstruktion. Denne bygger paa
Læren om Kongruens, Paralleler og Forhold mellem plane
Polygoner. Der benyttes saaledes et stort geometrisk Apparat
til at stige ned i Tallæren. Men vil man omvendt fra
Aritmetiken stige op til Planens Geometri, bliver Arbejdet heller
ikke ringe. Endelig kunde det ogsaa bevises, at 1/2-/3. = ]/6,
ja, man kan maaske sige, at de dertil anvendte Sætninger kun
er opstillede med dette Formaal for Øje. Dedekinds ovenfor
citerede Paastand, at saadanne Sætninger, saa vidt han ved
aldrig er bevist, rammer saaledes ikke den antike
Proportions-lære. Vi maa erkende, at de græske Matematikere har været
fuldstændig klare over de matematiske Fordringer, som
Opdagelsen af de irrationale Tal stillede til dem, naar de skulde
opstille en Tallære, mod hvilken der ikke kunde rejses
Indvendinger; og vi maa beundre det Skarpsind og den
Opfindsomhed, hvormed Teorien er ført igennem. Alligevel kan
man godt være enig med Dedekind i, at en aritmetisk Teori
for de irrationale Tal skal opbygges uden Brug af maalelige
Størrelser. Problemet stillede sig paa forskellig Maade i
Oldtiden og i Nutiden, og Midlerne til dets Løsning maatte
derfor ogsaa være forskellige. Men lad os se, hvad Dedekind
selv udtaler i Forordet til »Was sind und was sollen die
Zahlen.« J. Tannery havde i Forordet til sin »Introduction
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
