Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
12 T. BONNESEN:
gynder aritmetisk, men griber til maalelige Størrelser for at
komme igennem. Det faktiske Indhold af Euklids
Elementer kan imidlertid ikke ændres af den ene eller den anden
Anskuelse; og vi kan derfor rolig yde vor Beundring baade til
Oldtidens Matematikere og til Dedekind og hans samtidige for
de Irrationalitetsteorier, de har skabt.
3. 5. Kontinuet. Det tegnede Liniestykke, som for
Øjet gør Indtryk af at være uafbrudt sammenhængende, kan
gøres til Bærer af en tæt Punktmængde, og idet man
postu-lerer Muligheden af fortsat Indskydning af et Punkt mellem to
foreliggende, kommer man til Forestillingen om en »overalt tæt«
Punktmængde. Denne Forestillng indeholder i sig Kimen til det
Kontinuitetsbegreb, som Dedekind gør til Genstand for en
Undersøgelse i »Stetigkeit und irr. Zahlen § 3«. Den ovenfor citerede
Kontinuitetsætning er af fundamental Betydning for Analysen, og
Dedekind var med Rette stolt af at have præciseret, hvad der
skal forstaas ved Kontinuitet. En tilsvarende Sætning vil man
næppe kunne finde i den gamle Matematik, og der kunde vei
heller ikke være Trang til den. Den fortsatte Konstruktion,
ligegyldig af hvad Art, vilde føre til ny Liniestykker, og
Undersøgelsen af disses Forhold kunde altid tænkes at ske paa
Basis af Snittet, saa at der ikke kunde være Frygt for ad
denne Vej at naa til andre Tal end Snit. Naar man derimod
aritmetisk først skaber hele Tal, saa Brøker og derefter
irrationale Tal ved Snit i de rationale, er det paakrævet at
undersøge, hvad Snit i den ny Talklasse kan føre til. Først derved
bliver den almindeligt Grænseovergang mulig.
Til Indførelsen af ny Tal svarer geometrisk Indførelse af
ny Punkter paa den rette Linie, idet man efterhaanden
postu-lerer Eksistensen af Liniens Skæringspunkter med visse
geometriske Steder. Skæring med Cirkler er saaledes ensbetydende
med Indførelse af Kvadratrødder. Den, som gennem
Anskuelsen kommer til Forestillingen om den kontinuerte Linie,
maa da for at forklare, hvad han forstaar derved, støtte sig til
Skæringspostulater.
Ligesom man ved Betragtningen af et Liniestykke er
tilbøjelig til at identificere dette med Mængden af »alle« dets
Punkter, er man efter at have angivet Principperne til
Konstruktion af reelle Tal fristet til at tage Mængden af »alle«
reelle Tal som en vei defineret Mængde. I Dedekinds
Konti-nuitetssætning synes der at ligge Forestillingen om en saadan paa
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
