Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
46 HARALD BOHR: ET EKSEMPEL FAA EN BEVISMETODE.
Et Eksempel paa en Bevismetode,
Af Harald Bohr.
Ved en analytisk-talteoretisk Undersøgelse stødte jeg paa en Type af
Opgaver, paa hvilke den følgende er et særlig simpelt Eksempel.
Indenfor en Cirkel C med Radius i - som vi for at faa simple
Betegnelser vil tænke os beliggende i en kompleks £-Plan med sit Centrum i
Punktet o - er der givet et vilkaarligt Antal Punkter zv . . . z , fordelt paa
vilkaarlig Maade. Idet z er et variabelt Punkt indenfor C, betragter vi
Middeltallet af de reciproke Afstande fra z til zv . . . zjv altsaa
Størrelsen
/.(z)
U
og sknl bevise, at der findes en numerisk Konstant K (iøvrigt f. Eks.
Konstanten 4), saaledes at vi i alle Tilfælde (d. v. s. hvor stor n end er, og
hvorledes de n Punkter zlt . . . zn end er fordelt) kan finde et Punkt z0
indenfor C, hvori det omtalte Middeltal F(z0) er < K.
Denne lille Sætning bevises maaske lettest ved følgende Fremgangsmaade,
der kan benyttes overfor talrige Opgaver af lignende Art.
Funktionen F (z) er defineret indenfor hele Cirklen C med Undtagelse af
Punkterne zv . . . zn. For z-^zf vil F (z] vokse i det Uendelige, men
saaledes at F (z) forbliver <^k’\z - 2f|, og vi kan derfor tale om
Fladeintegralet af F(Z) udstrakt over hele Cirklen C, altsaa om Integralet
/iiT-!/_\»T ~»i m. - . T 7 . ^ 11 uXuy
-
Z - J
Nu er imidlertid Integralet under Summationstegnet mindre end en numerisk
Konstant, nemlig (som man ser ved at parallelforskyde Begyndelsespunktet
hen i Punktet zp] f. Eks. mindre end Fladeintegralet af i : z over en Cirkel
med Centrum i o og Radius 2, hvilket sidste Integral iøvrigt har Værdien 4^.
Integralet / er altsaa <C - . » . 4# = 4a. Men idet F (z) er positiv indenfor
hele £*, og Integralet af F (z) over Cirklen C (med Arealet /r) er <C 4/r, maa
Integranden F (z} nødvendigvis i mindst et Punkt ZQ være <C 477 : n = 4.
q. e. d.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
