Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
44 EDVARD ZEUTHEN :
8. Man har, idet som forudsat n er et ulige Primtal,
i) an - bn = (a - b] (an~l -f a{l~^b + an-*b* + ––
_|_^n-2 -f £«-!)
og 2} an + bn = (a + b] (an~l - a*1-* b + an~3o2 - ––
Da den første Identitet gaar over til den sidste, naar man
for b sætter - b, er det tilstrækkeligt at undersøge den første.
Divideres den første Faktor a - b ind i den anden, bliver
Divisionsresten nbn~l. Da b er primisk med a - b, er den
eneste mulige fælles Faktor for de to Størrelser Tallet n og
kun i iste Potens. an - bn indeholder altsaa enten slet ikke
Faktoren rø, eller ogsaa maa denne findes mindst i 2den Potens,
da et Tal, der gaar op i Divisionsresten og den ene af
Størrelserne: Divisor og Dividend, ogsaa maa gaa op i den
anden.
Findes n1 som Faktor i a11 - bn, maa den ene af de to
Faktorer, hvori denne Størrelse kan opløses, indeholde
Faktoren n, den anden n1"1, da de kun kan have n til fælles
Faktor. Man kan nu vise, at Binomiet a - b maa indeholde
Faktoren nl~l, medens Polynomiet
kun kan have n i Gang som Faktor.
Hvis nemlig Polynomiet indeholdt n flere Gange som
Faktor, medens n kun forekom i Gang som Faktor i a - b,
maatte den fælles Faktor for Polynomiet og (a - bf være n2.
At dette ikke er muligt, ses saaledes:
Vi dividerer Polynomiet med a? - 2ab -f ^2, idet vi til
ufuldstændig Kvotient første Gang tager an~3 + bll~*. Derved
bortskaffes de to yderste Led (o: det første og det sidste) af
Dividenden, næste Gang bortskaffes paa samme Maade de to
Led, som nu er de yderste, og man ender tilsidst ved det
n- l n- l
midterste Led, hvis Bogstavfaktorer er a 2 og b 2 .
Koefficienten til dette Led bliver n. Summen af Koefficienterne i
Dividenden er nemlig n, og da Summen af Koefficienterne i
Divisor a* - 2ab + b<* er o, maa Summen af Koefficienterne
i alle Resterne være n. Da n altsaa ogsaa er den eneste
mulige fælles Faktor for (a - bf og an~l + #n~2^ + . . . . + <£n~1,
kan denne sidste Størrelse kun indeholde n i Gang som Faktor.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
