Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
BEVIS FOR SÆTNINGEN O. S. V. 5
Perimeteren p og Arealet / af et vilkaarligt konvekst
Omraade kan bestemmes som Grænseværdier for de tilsvarende
Størrelser for en omskrevet Polygon, hvis Sider er Støttelinier.
For denne gælder Uligheden (i), og man faar derfor for det
betragtede Omraade
:> o.
471 -
Ved Steiners berømte Metoder kan man derefter indse, at
Lighedstegnet kun kan gælde for Cirklens Vedkommende, idet
man af en ikke cirkelformet Kurve kan danne en anden med
mindre Perimeter og større Areal. Hermed vilde den
omhandlede Sætning være bevist, men man kan naa til et
væsentlig bedre Resultat, dersom man geometrisk kan
bestemme endnu en Værdi af p, for hvilken ep er positiv. Dette
er muligt, idet der gælder følgende Sætning:
For en vilkaarlig konveks Polygon med
Perimeter/» og Areal/"er
naar R betyder Radius i den mindste Cirkel, som
indeholder Polygonen.
Angaaende Eksistensen af en saadan mindste Ydercirkel
bemærkes følgende. Man kan altid tegne en Cirkel, som
indeholder Polygonen og formindske Cirklen saaledes, at den
kommer til at gaa gennem to af Vinkelspidserne, A og K.
Blandt Ydercirklerne gennem A og K vil enten Cirklen over
AK som Diameter være den mindste eller, hvis ikke, vil den
mindste gaa gennem endnu en Vinkélspids Z>, saaledes at
^L AD K << 90 °. Den mindste Ydercirkel er altsaa enten
en Cirkel over en største Side eller Diagonal som
Diameter, eller den er den mindste af de Cirkler, som gaar
gennem tre Vinkelspidser og indeholder Polygonen. I alle
Tilfælde er Vinkelspidserne indenfor Cirklen fordelt i Afsnit paa
højst 1 80°.
Lad os nu først betragte det simple Tilfælde, hvor den mindste
Ydercirkel netop er omskrevet om Polygonen (Fig. 4). Paa
hver Side konstrueres et Rektangel saaledes, at den
modstaa-ende Side falder paa en Tangent, og vi ser da, at Rp =
2/-|-Rektanglerne, og Rp - / - /+ Rektanglerne, og da dette
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
