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BESTIMMUNG EINER GANZEN FUNKTION O. S. V. 21
(12) repräsentiert also tatsächlich die allgemeinste Auflösung
der Aufgabe: zwei ganze Funktionen endlicher Ordnung G(2)
und g (z) zu finden, die in ihren a-, b-, <?-Stellen übereinstimmen.
(In dem eingangs gegebenen Beispiel war a=o, b~\ gesetzt).
In dem Tripel der Werte a, b, c muss es also immer einen geben,
der tatsächlich nicht angenommen wird (bei eier gewählten
Bezeichnung a] während die beiden anderen unendlich oft
angenommen werden (b und c in der gewählten Bezeichnung;
£R - i und eR -f- r haben unendlich viele Nullstellen1)). Diese
Sachlage ist der Grund, dessentwegen es sicher nicht zwei
Funktionen G (z) und g (z) geben kann, die in viererlei
verschiedenen Werten #, b, c, d übereinstimmen, ohne identisch
zu sein: unter den 4 Werten a, b, c, d könnte man, wie leicht
zu sehn, sicherlich ein Tripel finden, das die gestellte Bedingung
nicht erfüllt. Denn würde etwa das Tripel a, b, c so beschaffen,
dass der Wert a von G(z\g(z) nicht angenommen wird,
hingegen b, c unendlich oft angenommen werden, so wäre eins der
beiden Zahlentripel a, b, d und b, c, d sicherlich unzulässig.
So ist der in Aussicht genommene Satz bewiesen. Der
Beweis benötigt, wie man sieht, ausser bekannten
fundamentalen Tatsachen über ganze Funktionen endlichen Geschlechts
nur eine Diskussion, die mehr algebraischen Charakter hat.
Es hätte vielleicht ein gewisses Interesse, die Voraussetzung
der endlichen Ordnung abzustreifen und die Fragestellung auf
beliebige ganze Funktionen zu übertragen.
Wenn ich in dieser Richtung von keinem bestimmten
Resultat berichten kann, so will ich doch folgenden Satz mitteilen,
der im Grunde genommen sich auf nahe verwandte
Gegenstände bezieht: Ist g (z) eine beliebige ganze Funktion, nur
nicht von der Form P(z)eQ^z\ wo P (z), Q(z] Polynome,
so hat mindestens eine der drei Funktionen g(z\ g’ (z\ g" (3}
unendlich viele Nullstellen; ist g (z) nicht von der Form
aebz, wo a, b Konstanten,, so hat mindestens eine der drei
Funktionen g (z), g’ (z), g" (z) Nullstellen. - Es gibt
hingegen ganze Funktionen g [2], die zugleich mit ihrer ersten
Derivierten den Wert o als Picard’schen Ausnahmewert zulassen;
sie haben die Form g (2} - e^e rfz, wo k (z) ganz.
1) Pringsheim a. a. O. S. 332.
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