Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TRE FOREDRAG OVER GEOMETRIENS GRUNDLAG. 35
15. I Legendre’s Geometri Sætn. 3 bevises det, at
gennem 2 Punkter kan kun lægges een ret Linie. Og Beviset
føres netop ved Hjælp af Sætn. i, som siger, at alle rette
Vinkler er lige store. Beviset ser saaledes ud: Lad A og B
(Fig. 2) være fælles Punkter for to rette Linier. Disse maa
nu for det første have hele Liniestykket AB
fælles (hvilket forudsættes at ligge i
Postulat i, der forud er antaget)- Tilbage
staar at vise, at Forlængelsen er eentydig.
Dette vises indirekte: Lad de to Linier A-^-<jr
skilles i C, og lad dem have Forlængelserne Fig. 2.
CE og CD. Gennem C drages CF
saaledes, at Z-AC F er ret. Man vil da have, at baade X.
og Z-FCE skal være ret; men dette er umuligt, da den ene
udgør en Del af den anden. Altsaa kan de to Forlængelser
ikke være forskellige, hvilket skulde vises.
Til dette Bevis skal nu for det første gøres den
Bemærkning, at Euklid jo overhovedet ikke godt kunde tale om
Vinkler, som han gør i sine Postulater og Aksiomer, uden
udtrykkelig at gaa ud fra, at Vinkelbenenes Forlængelser
(i deres egen Retning) var eentydige. Ellers maatte man jo
tale om Vinkler med korte og lange Ben. Hvad skulde </. ABC
betyde, naar BA og BC kunde forlænges paa forskellig Maade
ud over A og C? Det maatte jo da saa være en
Forudsætning, at man kun talte om Vinkler mellem Halvlinier, der
udgaar fra samme Punkt; og i saa Fald kunde der virkelig
blive Tale om et Bevis som det ovennævnte. Men, som sagt,
det ligger noget i Sagens Natur, at Euklid har maattet
forudsætte paa Forhaand, at Liniestykkets Forlængelse ud over et
Endepunkt var eentydig, før han overhovedet kunde tale om
Vinkler. Legendre’s Bevis er da ret beset ikke noget Bevis.
Hvorledes skulde man kunne oprejse en vinkelret CF paa
A C, naar ikke i Forvejen A C betyder en eentydig fastlagt til
begge Sider forlænget Linie? Det var der jo ingen Mening i.
16. Det har endnu i denne Forbindelse en vis Betydning
at omtale Euklids Definition af en Diameter i en
Cirkel (Definition 17). Om denne Definition siger Zeuthen,
»at den indeholder en Tilføjelse, som sikkert er overflødig, ej
blot for at definere den, men overhovedet i Forudsætningerne.
Det siges nemlig ikke blot, at den gaar gennem Centrum,
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
