Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
OM REGNING MED IKKE-KOMMUTATIVE FAKTORER 93
Almindelige Bemærkninger om Anvendelsen i Gruppeteorien.
For at karakterisere de forestaaende Undersøgelsers
Betydning for Gruppeteorien rigtigt, skal man fremhæve, at den
finder sin Begrænsning ved, at disse Metoder kun er
tilstrækkelige til en Gruppes Behandling, naar denne kan
fremstilles som fri Gruppe. Dette er for de almindelige
diskonti-nuerte Gruppers Vedkommende kun det simpleste Tilfælde.
De almindelige diskontinuerte Gruppers Teori i det særlig
interessante Tilfælde, at de er uendelige, men kan frembringes
ved et endeligt Antal af Elementer, er i nyere Tid særlig
bleven behandlet af M. Dehn1). Den karakteristiske
Vanskelighed, disse Undersøgelser frembyder i Sammenligning med
de her gennemførte, ligger i følgende:
Lad A = ÄJ, #2, - . . ., an igen være et Frembringersystem
til en Gruppe G, hvis Elementer altsaa gives som Produkter
af #-erne. Forskellen ligger nu i Elementernes Identificering.
Der antages at være givet et System af Elementer R±, R2,- . . .,
Rm, som ikke er i i den hidindtil betragtede Gruppe Gn,
d. v. s. ikke ved Forkortning i #-erne viser sig at være lig
med i, men som ved Definition fastsættes til at være i i G.
Disse Relationer Rt=i, der altsaa ikke er Identiteter i #-erne,
kaldes de »definerende Relationer«. Det vil nu være tilladt
at stryge Komplekset Rt af Frembringere, hvorsomhelst det
forekommer i denne Rækkefølge i et Element, og ligeledes at
indføje det efter Forgodtbefindende. Elementernes Udtryk i
Frembringerne bliver derved i høj Grad ubestemt. Saaledes
vil Gruppeelementet i ikke alene kunne skrives II (tf/-1), hvor
dette er lig i identisk i #-erne; men ogsaa f. Eks. Tl(Rr1},
hvor dette Produkt ikke kan bortforkortes helt i Æ-erne og
heller ikke i #-erne. Men den egentlige Vanskelighed ligger i
følgende: O^O"1 vil jo ogsaa være i, naar O er et vilkaarligt
Element; derfor vil ogsaa ethvert Produkt II(<&Rr-10"1) med
vilkaarlig mange Faktorer og vilkaarligt Valg af O i hver
Faktor være i. Gruppens Definition sker nu ved, at der
fastsættes, at et Element skal være lig i, naar og kun naar
det kan skrives paa denne Form TlfäRr^1®-1). Dehn synes
at være den første, der klart har fremhævet, at dette logisk
hører med til Gruppens Definition. Dermed er det prin-
) Af en Række Afhandlinger af M. Dehn om dette Emne skal her særlig
fremhæves: »Über unendliche diskontinuierliche Gruppen« i Math. Ann. 71.
Mat. Tidsskr. B 1921. 7
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
