Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TRE FOREDRAG OVER GEOMETRIENS GRUNDLAG. 113
lige store, har vi ikke, og den kan ikke bevises paa dette
Grundlag. Hvis man ved, at Topvinklen kan halveres, vil
Sætningen let kunne vises ved Spejling. Og det, der mangler,
kan netop sammenfattes i et almindeligt Postulat om, at en
Vinkel har en Halveringslinie (eller: to Halvlinier,
der udgaar fra samme Punkt, har en Spejlingsakse).
Heri vil ogsaa rummes den i Post. III udtrykte Egenskab, at
et Liniestykke kan flyttes over paa en Halvlinie med
Endepunkt i et af Liniestykkets Endepunkter.
At det nævnte Postulat er uafhængigt af de øvrige, skal
vises i det følgende.
43. Man kan ogsaa udfylde Mangelen paa en anden Maade,
idet man dels antager Postulat III (i ovennævnte Betydning)
og dels et nyt Postulat VII, der udsiger, at i en retvinklet
Trekant er Hypotenusen større end enhver af
Kateterne. Heraf vil nemlig for det første følge, at i en
stumpvinklet Trekant er den Side, der ligger over for den stumpe
Vinkel større end enhver af de andre Sider; har man dernæst
en ligebenet Trekant A£C(AB=AC\ og man fra
Toppunktet A fælder den vinkelrette AD paa BC, vil de to Trekanter
ADB og AD C ved Spejling i AD gaa over i hinanden. I
modsat Fald vilde £±ADC ved Spejlingen i AD gaa over i
en Trekant ADB^ hvor Bi er forskellig fra B. Men saa vilde
der eksistere en ligebenet Trekant ABB± med en stump
Vinkel ved Grundlinien, og dette er umuligt. Sætningen om den
ligebenede Trekant er dermed bevist. Samtidig er det (ved
Post. III) da ogsaa bevist, at en Vinkel har en Halveringslinie.
Det skal endnu blot tilføjes, at man, som det straks vil
ses, kan sætte Halvcirkelaksiomet (fra 17. Definition) i Stedet
for VI, og at man i Stedet for VII kan tage det Postulat, at
Korden ligger inden i Cirklen.
44. Endelig skal nævnes endnu en Løsning af Euklids
Kongruensproblem. Vi har hidtil kun anvendt
Størrelsesaksio-merne paa Liniestykker og Vinkler. Euklid anvender dem
ogsaa paa Arealer. Lad os undersøge, hvor vidt man derved
kan naa.
Det er for det første klart, at man paa Grundlag af I, II,
IV, V, VI alene kan naa gennem alle Arealsætningerne i
Euklids iste Bog, derunder ogsaa den pythagoreiske
Læresætning. Ved Hjælp af denne kan man da forsøge at bevise
Sætningen om den ligebenede Trekant. Der forlanges hertil kun,
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
