Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
OM TALRÆKKER I OLDTIDENS MATEMATIK. 5
er meget simpelt, det mindste Stykke afsættes ud ad det
største, og Resten deles i 3 ligestore Stykker, saa vil de søgte
Linier gaa til de to Delingspunkter. Opgaven er imidlertid
at vise, at Forholdet mellem de to givne Linier er større end
3die Potens af Forholdet mellem de to første Led i Rækken,
en Sætning, som bruges i Skriftet om Kugle og Cylinder, I
Sætning 34, hvor den derfor omtales. Beviset for den findes
i Eutocius Kommentar til Archimedes og det gengives her med
moderne Betegnelser.
Man har altsaa givet a± - a2 - a% - a3 = a3 - #4 og skal
bevise, at al : a^>(al : #2)3. Dannes Proportionen a± : a2=a% : x,
faas (a1 - #2) : a1=(a2 - oc]\a^ ogdaal^>a2, er a± - #2>tf2 - ^»
og da al - a2 - a% - #3, faar man x > a3 .
Dannes dernæst Proportionen a%\x = x:y, saa er
(<2g - x) : a2 = (x - y): x, altsaa
#2 - x^> x - y og #2 - tf 3 > AT - y, altsaa as - tf4> x - y,
og da x > aB , maa jy > tf4 .
Nu er
a1: a2 = a2 : x = x : y, altsaa a\ : al = a1 \y <C a± : a±-
5. I Indledningen til Bogen om Konoider og Sphæroider
anfører Archimedes en Sætning om Summen af en
Differensrække, der bevises i Sætn. ii i Bogen om Spiralerne.
Sætningen siger, at i en Differensrække med Differensen
lig første Led er Leddenes Antal gange det største Led mindre
end det dobbelte af Leddenes Sum og større end det dobbelte
af Summen, naar det største Led udelades.
Archimedes afsætter Leddene som en Række parallele Linier
og supplerer dem til at blive lige lange (#1+tfn=tf2 + #n_i- . .).
Af Figuren ses da umiddelbart, at
2(al + a9 –– \- an) - n (an + a±) > nan
og at
2(a1 + #2 –– \- an) = (n- i)(a1 + an-i) - (n - i) an < nan .
Det, som Archimedes vil have frem, er ikke Summen af
Rækken, som han godt kendte forud, men Uligheden
2 (#1 + tfg . . . *") > nan > 2 (A! H ––- h Øn_i).
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
