Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
o s. A. CHRISTENSEN:
Archimedes foretager som bekendt visse Integrationer i
X
/»
sine Bøger, og ved denne Ulighed faar han \ xdx = £ x*, idet
%
P=n
dette Integral er Grænseværdien for Summen ^ på -a, naar
p=i
n vokser uden Grænse, medens a aftager saaledes, at Pro-
duktet nå er konstant. Af det Ovenstaaende faas Grænsen for
a (i -a + 2a + ^a- - - + nå] ~ ^-^- > altsaa Integralet lig \x*.
6. Hos Archimedes findes dernæst Summen af en uendelig
aftagende Kvotientrække, nemlig i Bogen om Parablens
Kvadratur, Sætning 23, der siger:
Dersom en Række Størrelser er saaledes beskafne, at
enhver er 4 Gange mindre end den foregaaende, saa er Summen
af dem alle forøget med en Trediedel af den mindste, lig en
Trediedel større end den største.
Lad de givne Størrelser være a, b, c, d og e, og sættes
/= ¥ 6> S = i ’, h = i d og k = i e, saa er b +/= ^b = \a
og af samme Grund c + £=%&, d + & = % c og e + k = %d,
altsaa ved Addition
og da / + g- -f h - i (b + c -f d) , faas ved Subtraktion
b-\-c-\-d-\-e-^h=.\a, altsaa da h=.\é
a + o+c+d4-e + ±e = ±a.
Af Fremgangsmaaden ses det, at Antallet af Led er uden
Betydning for Beviset, og vi har da
I Anvendelsen af denne Summation gaar Archimedes til
Grænsen og faar for den uendelige Række Summen at være |.
7. Summen af Kvadrattallene bestemmes ligeledes af
Archimedes om end ikke i den Form, vi nu bruger denne
Sum. Det er her som i de andre Tilfælde Biresultater; hans
Formaal er at bestemme Integraler som det ovenfor nævnte,
hvorfor han bestemmer Grænseværdier for Summen, som kan
bruges til hans Formaal.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
