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BEZIEHUNGEN DER RIEMANNSCHEN ^-FUNKTION. 4!
Man ersieht aus diesem Beweise, dass die gegebenen
hinreichenden Bedingungen für F [x] nach verschiedenen Richtungen
hin verschärft werden können; auf Einzelheiten kommen wir noch
w. u. zurück (JE). Hier sei nur noch erwähnt, dass die
gewonnene Hauptformel I die üblichen Darstellungen von t (s) im
kritischen Streifen auf eine gemeinsame Quelle zurückzuführen
erlaubt - man braucht nur etwa:
sn
. . . . (
(zulassig ;<
v &;’ l
u. a. m. anzunehmen. Ferner wollen wir zeigen, dass auch die
verschiedenen Beweise für die Funktionalgleichung von £ (s\
die gewöhnlich mit Hilfe von solchen speziellen Annahmen
durchgeführt werden, ihren eigentlichen Grund in ganz
allgemeinen Sumrnationseigenschaften willkürliche r Funktionen haben.
B. Neben den in A geforderten Eigenschaften für F(x]
möge noch F"(x) für #>o existieren und x? F" (x] für JT - >-oo
von höherer als der ersten Ordnung verschwinden; setzt man
daraufhin :
~ (3)
so besteht nach einem berühmten Satz von Cauchy *) über
solche Paare »reziproker**) Funktionen erster Art« die
Summenbeziehung:
( l . . oo 1 ( l . . oo
}/* ~ /"(o) +T F(nx) = i~y\ G (o) + G (ny)
%y - 2 JT,
was hier in folgender Form geschrieben werden möge:
G(My)-\G(g)d*},
= 2 jr.
(4)
In diesem allgemeinen Satz (4) über die £u/trschen
Differenzen zweier reziproken Funktionen (3) ist auf Grund von I die
Funktionalgleichung von %(s) mit enthalten; denn man hat nun
einerseits:
*) Oeuvres (2), 7. p. 185-190.
**) F (x) lässt sich nämlich nach dem Integralsatz von Fourier durch G (y)
ganz analog zu (3) definieren, die Beziehung (3) ist also stets gegenseitig.
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