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BEZIEHUNGEN DER RIEMANNSCHEN ^-FUNKTION. 43
und ebenso:
" oö r»oo s »oo «°°
.-, (6a)
mit den gleichen Integranden, wie in (6); es ergeben sich so
vielfach bequemere Grenzen als in I selbst, besonders für G(x) =
F(x\ was sich auf mannigfache Weise erreichen lässt, z. B. wenn
man von F(x)-\- G.(x) statt F(x) ausgeht.
Setzen wir ferner:
x) = /(*), G (^y) = g(y)\
foo (7)
i S (y)=i\f (^)- cos 2 ny* dx, e. v. v.,
J0
so erhalten die obigen Formeln noch einfachere Gestalt, deren
Ausschreibung sich indes erübrigen mag.
D. Die einfachsten Paare reziproker Funktionen sind:
b)
und bei r- i folgen daraus bekannte Überlegungen für £ (s) im
Anschluss an (6) und (6a). Man kan aber aus a) und b) noch
sehr viel allgemeinere entsprechende Paare finden, ohne dass
man zu den unbequemen oszillatorischen Integralen (3) zu greifen
braucht, nämlich, mit passenden willkürlichen cp (r), i|) (r):
a’) F(x) = H"1"* ij> (r) dr, ]/- G (y) =
.’o r 2 " . .
i y*
px> ^2 C°° J~
b’) ^(^r) =
b") ^ (x) = rf~" ? y(r}dr,G(y}= (^ " T l «p (l)
und bei letzterer Darstellung lässt sich z. B. G (x) = F (x)
einfach dadurch erreichen, dass man cp ( - j . = r cp (r) festsetzt, so-
T yry T v y >
dass es genügt, cp (r) nur für o <r< i zu definieren - jedoch
natürlich so, dass die obigen Integrale in der verlangten
Weise (A, E] existieren.
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