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BEZIEHUNGEN DER RIEMANNSCHEN ^-FUNKTION. 45
Von den zahlreichen anderen elementar summierbaren Fällen
heben wir noch hervor:
b) F(x) = log x für o < x ^ i (zulässig) ;
^ o<ö<i (9b)
G. Mit der zuletzt gewonnenen Beziehung (9 b) ist die,
folgende nahe verwandt, die bisher nicht bekannt gewesen zu sein
scheint :
> o«3< i. (
Beweis. Wir setzen in I für alle
F(x) = (i + x}-\ (io a)
und erhalten so:
l dx
Y, _\
}
(.00 f 1
=V~ r
sm ’KS ___
u \ ^.^..v f
io b)
die partielle Integration liefert zuerst:
(IOC)
und daraus wieder (io).
H. Man kann aus (io) eine Partialbruchentwicklung für die
linke Seite ableiten, die in mehrfacher Hinsicht bemerkenswert
ist und ein Analogon zu sonstigen klassischen Zerlegungen
liefert.
Für \y\ <^ i gut bekanntlich:
logT(i +y) = ~Cy
(C = £utersche Konstante), und für alle y überhaupt:
log T (i +y)- ylogy+y = %\og2-ny + ob ( y\ (na)
*) Für i <C ö" <T 2 befindet sich eine analoge Formel bei /. F. Steffensen
[Rediconti d. Palermo, Bd. 36 (1913), p. 219].
Übrigens gestatten sämtliche oben unter A, E, F, G gegebenen Formeln
Modifikationen für beliebige ff.
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