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40 CH. H. MÜNTZ:
letzteres die klassische Restfunktion von Cauchy-Binet
darstellend, für welche die bekannte Entwicklung-gilt*):
(lib)
(-if _,w+1
=-y
Wird daher in (10) ein Zwischenwert a eingeschoben,
zunächst o «<#<!, so kann man nach einer Substitution^ = af
unschwer zu der folgenden Darstellung gelangen:
. ^
~~ 2
^
i - .r)2 i - ^ i - ^ ’ ^ m (m - s)
yi- l
^ ___^
(2n - \)2n(2n-\-\-s)
-y co
Sowohl das erste wie das zweite Restintegral behalten hier
ihre Gültigkeit auch für a > i und sogar für beliebige
nichtnegative a\ die obige Formel bleibt daher in der ganzen längs
der negativreellen Axe aufgeschnittenen komplexen ^-Ebene
richtig.
Ferner haben beide Restintegrale für a > o und %$(s) = t ^> o
einen stets positiv bleibenden Imaginärleil^, wie man sofort aus
S (*-M) - *’-*sin /log ^, 3 (- y~s) = y’-* sin /logj/
nach den Substitutionen x~fr^ y = e^ ersieht, worauf sin t^
und sin t\\ mit stets fallenden positiven Faktoren behaftet
erscheinen.
Überdies wird das erste Restintegral für sehr kleine, das
zweite aber für sehr grosse a beliebig klein; die gesamte
Entwicklung (12) ist, wie (nb) selbst, //^konvergent, ohne das
letzte Restglied also sinnlos,
l–z. B. Lindelöf, Calcul des residus. p. 97; die Bn sind natürlich die
Zahlen.
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