985 Geometria-Geometriska tidens stil 986 väsentligen betjänar sig af den geometriska åskådningen såsom metod, den algebraiska geometrien, som betjänar sig af algebran såsom hjälpmedel, samt den analytiska geometrien, som visserligen också begagnar sig af algebran eller analysen såsom hjälpmedel, men därvid utmärker sig genom ett alldeles särskildt val af de geometriska element, hvarmed analysen opererar, i det att såsom sådana väljas de kvantiteter, som äro tillräckliga för bestämmande af en punkts läge, exempelvis dess afstånd från tre sinsemellan vinkelräta plan (punktens kartesiska koordinater). Den projektiva geometrien behandlar de egenskaper hos en geometrisk bild, som tillkomma äfven dess projektioner. Alltefter de förutsättningar, som ligga till grund för geometrien, kan man skilja på den euklideiska 1. vanliga geometrien, hvars förutsättningar finnas an-gifna af Euklides, samt icke-euklideisk geometri, hvarmed förstås hvarje geometri, som utgår från andra förutsättningar än den euklideiska. Mera såsom ett praktiskt hjälpmedel för ingenjörsvetenskapen kan man betrakta den beskrifvande 1. deskriptiva geometrien, som afser lösningen af rymdgeometriska problem medelst konstruktioner i planet. - Hvarje geometri utgår från ett antal satser, de s. k. axiomen, ur hvilka genom logiska slutledningar alla geometriens satser kunna härledas. Axiomen få naturligen ej motsäga hvarandra, ej heller bör något axiom få vara en följd af de öfriga. Undersökningen, huruvida denna fordran är uppfylld i den euklideiska geometrien, har i synnerhet riktat sig på frågan, huruvida det s. k. parallellaxiomet är en följd af de öfriga eller ej. Dessa undersökningar, som härröra af Gauss, W. och J. Bolyai samt Lobatjevski, ha ådagalagt, att parallellaxiomet är oberoende af de öfriga, i det att man kan uppbygga en geometri, i hvilken alla den euklideiska geometriens axiom utom parallellaxiomet äro uppfyllda. Denna geometri, som kallas Loba-tjevskis geometri l. den hyperboli-ska geometrien, skiljer sig från den euklideiska bl. a. därigenom, att vinkelsumman i en triangel är mindre än två räta. En annan icke-euklideisk geometri är den elliptiska 1. R i e-manns geometri, i hvilken triangelns vinkelsumma är större än två räta (dessutom är i denna geometri hela den obegränsade rymden ändlig). - Den euklideiska geometrien är ännu den enda geometri, som kommer till praktisk användning i astronomien och de öfriga naturvetenskaperna, men det kan ifrågasättas, om ej den icke-euklideiska geometrien kan vara egnad att gifva en mera tillfredsställande bild af universum än den euklideiska. - Geometrien härstammar från Egypten, där de äldste grekiske matematikerna under 7 :e årh. f. Kr. hämtade sina första geometriska kunskaper, hvilka därefter i allt högre grad utvecklades af en mängd framstående geometrer, bland hvilka Pythagoras, Hippokrates från Chios, Platon, Euklides, Archi-inedes och Apollonios voro de förnämste. Vid slutet af 3:e årh. f. Kr., då den antika geometriska vetenskapen nått sin höjdpunkt, omfattade den dels den nu s. k. elementära geometrien till det omfång den intager i Euklides' "Elementa", dels ock åtskilliga andra kroklinjer än cirkeln, särskildt de koniska sektionerna, d. ä. ellipsen, hyperbeln och parabeln. Under den därpå följande tiden upp- trädde ännu några geometrer med själfständiga undersökningar, men de följdes snart af endast be-arbetare, af hvilka Pappos (vid slutet af 4:e årh. e. Er.) har den största betydelsen. Därefter kom en period af ungefär 1000 år, under hvilken geometriens studium låg nästan alldeles nere. Först mot midten af 15:e årh. upptogs det åter. Under geometriens då långsamt försiggående pånyttfödelse, hvilken började med studerandet af de grekiske författarna, framställde sig småningom ett helt nytt mål för de geometriska undersökningarna. Då nämligen den grekiska geometrien, med ett par undantag, saknade alla allmänna metoder, så att samma uppgift i särskilda fall måste behandlas på helt olika sätt, och endast sysselsatte sig med det speciella, konkreta fallet, började nu en sträfvan efter generalisation göra sig gällande. Första frukterna af denna sträfvan visade sig under förra hälften af 1600-talet, då Cartesius, Roberval och Fermat uppfimno hvar sin allmänna metod att lösa den dittills endast i speciella fall behandlade uppgiften att draga tangenter till kroklinjer samt Pascal utbildade metoderna att bestämma kroppars ytor och volymer m. m. Skillnaden mellan den gamla och den nya geometrien blef fullständig genom Cartesius' storartade skapelse, den analytiska geometrien, hvilken har blifvit ett af de förnämsta medlen för geometriens utveckling och utöfvat stort inflytande äfven på de öfriga grenarna af matematiken. I detta afsende kan endast 1600-talets andra stora, för hela matematiken epokgörande, upptäckt jämföras med densamma, nämligen Leibniz' och Newtons upptäckt af i n f i n i-tesimalkalkylen. I förening med den analytiska geometrien visade denna kalkyl sig snart så ytterst fruktbärande för geometriens vidare utbildning, att under 18:e årh. den rena geometrien nästan blef ansedd som öfverflödig. Intresset för densamma återväcktes först af Monge (d. 1818) och L. Carnot (d. 1823), hvilka grundlade såväl den deskriptiva som den projektiva geometrien. Ur den senare af dessa utbildade sedermera Poncelet, Möbius, Plücker, Steiner, Salmon och Cremona m. fl. den syntetiska geometrien. Själfva grundvalarna för all geometri, de geometriska axiomen, ha Eiemann (1854), Helmholtz och i senare tid S. Lie, Hubert och Veronese gjort till föremål för djupgående undersökningar. K. L. (M. L.) Geometria, astron., en af småplaneterna. Geometrisk (se Geometri), som hör till eller har afseende på geometrien. Geometriska tecken. Se Matematiska tecken. Geometriska tidens stil, en på Greklands fastland, sedan Mykenetidens orientaliserande kultur gått under, inom konsten uppträdande ny stilriktning. Särskildt gör den sig gällande i lerkärlens ornering, och då de finaste lerkärlen från denna tid (omkr. 1100-800 f. Kr.) blifvit funna på grafplatsen utanför Dipylonporten i Aten, har riktningen och särskildt dess förgrening i Ättika äfven fått namnet d i p y l o n s t i l (se Dipylon och där meddelade af bildningar af lerkärl). Den geometriska stilen har fått sitt namn däraf, att den i stor utsträckning begagnar lineära ornament, kombinationer af linjer och punkter, kors och cirklar, hvartill komma meandermönster. Tomma