971 Loganiacese-Logaritmomanti 972 slut återgick L. till politiken, nu som radikal republikan, och satt i kongressens representanthus 1867-71 och i senaten 1871-77 och 1879-86. Som ledare (1868-71) för vcteransammanslutningen "Grand army of the republic" införde han brukel att smycka de fallnes grafvar på "decoration-day". I den mot sydstaterna hårdhändta rekonstruktionspolitiken och kongressens strider mot president Andrew Johnson tog L. verksam del, och hans ofta grofhuggna inlägg i debatterna utmärktes af våldsam kraft. Han var 1884 republikanernas kandidat till vice-presidentskapet, men föll igenom med deras presidentkandidat Elaine. L. skref bl. a. en mot sydstaterna ytterst partisk historia om inbördeskriget, The greal conspiracy (1886). Staty öfver honom är rest i Chicago. Jfr G. F. Dawson, "The life and services of general John A. L." (1887). V. S-g. Loganiäceae, Loganiacéer, bot., benämnes en till serien Contortce, underser. Gentianinece hörande växtfamilj. Den omfattar omkr. 350 tropiska träd, buskar och örter, med motsatta blad med stip-ler. Blomkronorna ha antingen vridet, tegellagdt eller kantlagdt knoppläge. Frukten är kapsel eller bär. Många hithörande växter innehålla alkaloider och ha medicinsk användning, såsom arter af släktena Gelsemium, Spigelia, Strychnos. Fagrcea lämnar kungsträ, som prydnadsväxter odlas skönblom-mande arter af Buddleia och Spigelia. G. L-m. Loganiacéer, bot. Se L o g a n i a c e ae. Loganit, miner., brun omvandlingsprodukt af hornblände. - A. Ung. Loganogra'ptus Hall, paleont. Se Graptoli-t er, sp. 145. Logansport [låÄ^gonspåt], stad i nordamerikanska staten Indiana, 110 km. n. om Indianapolis, vid Wabash-Eriekanalen och Ecl rivers förening med Wabash. 16,204 inv, (1900). Norra Indianas anstalt för sinnessjuka. Järnvägsverkstäder (8 järnbanor mötas i L.). Stor omsättning af spannmål. J. F. N. Logarfning. Se Läder Logari tm (af grek. lo'gös, förhållande, och arith-mo's, tal), mal. ' Logaritm till ett visst tal kallas den exponent, hvartill ett annat på förhand bestäm dt tal (den s. k. basen) bör upphöjas för att ge det förstnämnda talet. Så är t. ex. 3 logaritm till 64, om basen är 4, och 2 logaritm till 49, om basen är 7, eftersom 43 = 64 och 72 = 49. I allmänhet är, oru ekvationen ax = m eger rum, x logaritmen till ra, då basen antages vara a\ detta tecknas korte-ligen ;r = loga m. Med logaritm system förstås sammanfattningen af alla logaritmer, som hänföra sig till samma bas. Logaritmerna äro i allmänhet irrationella tal. Logaritmen för l är alltid 0. Om basen är större än l, äro logaritmerna för alla egentliga bråk negativa, men positiva för alla öfriga tal; är basen åter mindre än l, gäller ett motsatt förhållande. Med vanliga (artificiella, briggsska) logaritmer förstås sådana. där basen är 10. Dessa äro nästan uteslutande använda vid numeriska räkningar. Naturliga logaritmer åter äro sådana, hvilkas bas är det irrationella talet e, d. v. s. summan af serien Dessa logaritmer kallas ofta. ehuru något oegentligt, hyperboliska logaritmer, emedan ytan af den liksidiga hyperbel, hvars ekvation är xy = l, uttryckes genom logaritmen för motsvarande abscissa. De kallas också, ehuru alldeles oriktigt (se nedan), nepperska logaritmer. Dessa logaritmer äro de enda, som förekomma inom den högre analysen. - Vid numeriska beräkningar äro logaritmerna till stor nytta. Genom dem kan nämligen hvarje multiplikation eller division reduceras till addition eller subtraktion samt hvarje upphöjning till dignitet eller rotutdragning ersättas genom enkel multiplikation elier division. Vissa expo-nentialekvrationer kunna lösas endast medelst logaritmer. Äfven inom den högre analysen spela'logaritmerna en viktig roll, särskildt vid integrationer. Man har här generaliserat begreppet logaritm till att betyda hvarje storhet x, som uppfyller villkoret ax = m, då a är basen och m en viss gifven storhet. Hvarje gifven storhet har ett obegränsadt antal logaritmer, af hvilka, om m och a båda äro positiva tal, en är reell, men alla de öfriga imaginära. Logaritmerna uppfunnos 1614 af Nepper, hvilken dock ej betraktade dem såsom exponenter, utan erhöll dem genom betraktande af två punkter, som på ett visst sätt rörde sig utefter två räta linjer. Neppers logaritmer öfverensstämma hvarken med de naturliga eller med de vanliga logaritmerna (jfr Logaritmtabeller). Ungefär samtidigt med Nepper kom äfven tysken J. Biirge på tanken att använda logaritmer, men hans idé kom blott ofullständigt till utförande. Först efter differentialkalkylens upptäckt gjorde sig det nu vanliga betraktelsesättet gällande. - De s. k. g &. u s s's k a l o g a-r i t m o r n a äro ingenting annat än vanliga logaritmer, hvilka blifvit sammanställda tre och tre så, att med log a alltid äro förenade log (l + -) och a log (l -f a}. De användas med fördel, då man ur logaritmerna för två gifua tal vill bestämma logaritmen för dessa tals summa eller skillnad. Dessa logaritmer framställdes först af Lconelli (1803), men ha blifvit uppkallade efter Gauss, som 1812 utgaf de första hithörande tabellerna. (I. F.) LogarFtmika. Se L o g a r i t m i s k linje. LogarFtmisk funktion, mat. Se Funktion 4, sp. 106. LogarFtmisk linje, L o g a r i't m i k a (se L o g a-r i t m), mat., kallas en kroklinje, där i hvarje punkt abscissan är logaritm till ordinatan. Kroklinjens ekvation är x = log y. Den närmar sig åt ena hållet obegränsadt till rr-axeln och aflägsnar sig åt andra hållet obegränsadt från samma axel. Logaritmikan har bl. a. äfven den egenskapen att, om ett antal abscissor väljes i aritmetisk progression, så bilda motsvarande ordinator en geometrisk sådan. (I. F.) LogarFtmisk spiral, mat. Se Spiral. LogarFtmiskt dekrement (lat. decremefntum lo-garifthmicum), fys. mek., en af Gauss införd benämning på logaritmen för förhållandet emellan två successiva svängningsbågar hos en svängande pendel, magnetnål eller trådspole i ett magnetiskt fält. Detta tal skulle naturligtvis vara noll, om svängningsbågarna bibchöllo sig absolut oförändrade. Men enär dessa oupphörligen af taga, har logaritmiska dekrementet alltid ett positivt värde. R. R.* Logaritmomanti (af logaritm, se d. o.; och grek.