lyckades Bring reducera en allmän 5:e gradens ekvation till blott tre termer. Talteoretiska satser framställdes af Euler, Waring och Wilson. Probabilitetskalkylen utvecklades betydligt af Jacques Bernoulli, Montmort, Moivre och Condorcet, hvilken däraf gjorde tillämpning på frågor af allmänt intresse. -- Geometriens olika metoder användes, om också ej med någon mera betydande framgång. På analytisk väg undersöktes och klassificerades speciella kroklinjer och ytor af Newton, Stirling, Cramer, Clairaut och Euler. Enligt den antika metoden fortsattes studiet af de koniska sektionerna af Halley, Simson, Stewart och Maclaurin. Slutligen återupptogs Desargues betraktelsesätt af Götes, Maclaurin, som utbildade transversalteorien, och Lambert, som angaf åtskilliga satser ur perspektivläran. Under slutet af 1700-talet och 1800-talets två första årtionden fortsattes forskningsarbetet med alltjämt ökad framgång. En tydlig tendens att generalisera de gamla metoderna och från dem aflägsna det oväsentliga började göra sig gällande, på samma gång nya teorier af stor betydelse framträdde. Lagrange sökte ställa den högre analysen på en själfständig grund genom sin teori för de analytiska funktionerna, inom hvilken de i serieutveckiingen uppträdande koefficienterna spelade en hufvudsaklig roll. Dock egnade han ej nödig uppmärksamhet åt undersökningen af seriernas konvergens, hvarigenom hans teori kom att sakna den erforderliga allmängiltigheten. Lagrange utvecklade äfven betydligt infinitesimalkal-kylen genom sina arbeten rörande integraler och differentialekvationer, arbeten, som vidare fullföljdes af Laplace, Legendre, Pfaff o. a. Talteorien erhöll likaledes genom Lagrange värdefulla metoder för lösning af obestämda ekvationer och utbildades vidare af Legendre, hvilken uppställde den fundamentala s. k. reciprocitets-lagen. Genom Gauss bragtes teorien så att säga med ett enda steg att omfatta ett fält, inom hvilket alla föregående upptäckter intogo en mycket underordnad plats, och erhöll genom införande af nya metoder och särskildt genom kongruensbegreppet en fullständig omgestaltning. Äfven probabili-tetskalkylen utvidgades betydligt af Laplace och Gauss, särskildt genom uppfinningen af minsta kvadratmetoden. Kombinationsteorien upplefde en snart öfvergående blomstring genom Hindenburg och den från honom utgående kombinato-riska skolan. -- Inom ekvationsteorien arbetade Lagrange, under hvars hand läran om numeriska ekvationers lösning bragtes ett godt steg närmare sin fulländning, och R u f f i n i, som, ehuru med ofullständig framgång, behandlade frågan om möjligheten af högre ekvationers lösning. - Geometriens utveckling befordrades dels genom en mera genomförd användning af infinitesimalkalkylen vid undersökningen af kroklinjer och ytor, dels genom Monges viktiga uppfinning af den deskriptiva geometrien och Carnots i viss mån med Desargues metod besläktade positionsgeometri och transversalteori. Med ingången af 1820-talet börjar ett nytt skede i matematikens historia, fruktbart på nya teorier och nya resultat samt därjämte utmärkt genom sin sträfvan efter sträng vetenskaplighet i formellt hänseende. Den högre analysens metod och grundläggande begrepp underkastades en skarpsinnig granskning af Cauchy, för hvars nya funktionsteori läran om seriers konvergens och funktioners kontinuitet bildade utgångspunkten. Ungefär samtidigt framställde Abel och Jacobi sina epokgörande undersökningar rörande de elliptiska funktionerna och öppnade därigenom ett alldeles nytt fält för forskningen, ett fält, som ytterligare vidgades genom införande af nya allmänna slag af funktioner, t. ex. de abelska. Inom den högre analysen och teorien för differentialekvationer bragtes äfven andra viktiga resultat i dagen, särskildt af Cauchy, Liouville och Dirichlet. Gauss fortsatte sina talteoretiska studier, hvarvid de komplexa talens införande beredde åt teoriens område en väsentlig utvidgning. Han biträddes verksamt af Eisenstein, ännu mera af Dirichlet, som medelst oändliga seriers införande erhöll nya betydande talteoretiska satser, samt af Kummer, som uppställde teorien för de ideala primfaktorerna till komplexa tal. Ekvationsteorien, som genom Abels bevis för omöjligheten att algebraiskt lösa irreduktibla ekvationer af högre grad än 4:e erhöll ett slags afslutning, utbildades till en djupgående teori för alge-braiska funktioners egenskaper. Med anslutning därtill skapades, särskildt genom Jacobi, determinantteorien, hvilken snart visade sig på det närmaste sammanhänga med andra områden icke blott inom analysen, utan äfven inom geometrien. Teorien för serier utvecklades i flera riktningar, särskildt af Gauss och Fourier. Äfven minsta kvadratmetoden förbättrades och erhöll en allt vidsträcktare användning. -- Inom den nyare geometrien skapades och utbildades nya teorier af Gauss (läran om konform afbildning), Poncelet (projektivisk geometri), Möbius (barycentrisk kalkyl), Plücker (dualitetslära, förkortad beteckningsmetod), Steiner (teori för strål- och planknippen), Staudt (situationsgeometri) och Chasles (teori för anharmoniskt förhållande, homografisk delning och involution), hvilka både genom metodernas elegans och genom resultatens värde ställde i skuggan förut gjorda upptäckter på detta område. Utgående från väsentligen nya synpunkter framställde Lobatjevskij och Bolyai den absoluta geometrien, Grassmann geometrien i n dimensioner och Hamilton kvaternkalkylen. Slutet af 1850-talet kan anses förmedla inträdet af en ny period, som ännu ej är afslutad och hvars skaplynne därför endast delvis kan bestämmas. Ett drag, som genast faller i ögonen, är den i rent kvantitativt hänseende betydande verksamhet, som eger rum inom matematiken i våra dagar. Endast ett mindre antal vetenskapliga arbeten utges visserligen i bokform, men till författarnas förfogande står ett stort antal facktidskrifter (jfr t. ex. de af svenskar redigerade Acta mathematica och Bibliotheca mathematica), och dessutom införes en stor mängd afhandlingar i lärda sällskaps handlingar eller i journaler af allmännare natur. Man kan beräkna, att numera årligen i medeltal utkomma inemot 2,000 böcker (däri inberäknadt läroböcker), afhandlingar eller uppsatser hörande till den rena matematikens