82 H. G. Zeuthen: og Rumfang ved den samme Deling i og Summation af uendelig mange, uendelig smaa Dele, som vi nu kalde Integration. Han vogtede sig imidlertid vel for at tale om uendelig mange uendelig smaa Dele. Belært ved Sofismer som Zenons og Fejltagelser som Antifons, der af den Omstændighed, at man ved geometrisk Konstruktion kan kvadrere enhver regulær Polygon, sluttede, at man ogsaa kan kvadrere den regulære Polygon med uendelig mange Sider eller Cirklen, havde man længe vidst, at intet sikkert kan bygges paa et Uendelighedsbegreb, som blot er bestemt ved den negative Definition, der ligger i Ordet «uendelig». Man havde i den Anledning helt undladt at benytte dette Begreb. Derimod havde Eudoxos opstillet en Bevistťorm, det senere saakaldte Exhaustionsbevis, der paa en uangribelig Maade omgaar Uendelighedsbegrebet og fører netop til det samme, som skulde opnaas ved Brug af dette. Ved dette Bevis godtgjør ogsaa Archimedes Rigtigheden af sine Integrationsresultater. Det er disse, som i den nyere Tid have fremkaldt lignende fra Keppler, Cavalieri, Pascal, Fermat og mange flere. Disse Mænds Udtryksmaader ere dog enten mindre exakte end Archimedes’, eller naar de, som Fermat, vilde skaffe fuld Sikkerhed, sker det ved Brug af Exhaustionsbeviset eller dog ved Henvisning til, at dette kan bruges. Hermed vedblive tildels endnu Grundlæggerne af en egentlig, sammenhængende Infinitesimalregning, Newton og Leibnitz. Da derimod denne Regning en Gang var bleven til, da man saa, hyormeget man kunde udføre ved sine uendelig smaa Størrelser, og da man fik Routine i at bruge dem saaledes, at man undgik fejle Resultater, ja saa glemte man Nødvendigheden af at forklare, hvad man egentlig mente med sine uendelig smaa Størrelser. Det fejler ikke, at man da tillige opholdt sig over de gamle, som ikke kunde finde paa at bruge disse nyttige Størrelser, men med saa stort Besvær kom til deres Resultater gjennem Exhaustionsbeviset, ret som om dette Bevis var en Methode og ikke den exakte Begrundelse af Resultater, funden væsentlig paa samme Maade, som naar man sely anvendte Infinitesimalmethoden. Der kom dog en Tid, da man sely maatte føle Savnet af et saadant exakt Grundlag for sine Infinitesimalbetragtninger. Manglen af et saadant havde endog af og til ført til positive Fejl. Midlet til at undgaa disse Mangler søger man ikke nu ved som BEudoxos at omgaa Uendelighedsbegrebet, men ved at give det en nøjagtig Bestemmelse. Det logiske Grundlag for denne er imidlertid, endog lige til adskillige af de Udtryk, som bruges, ganske