Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 5 - J. Petersen, Lärobok i elementerna af plana geometrien. Öfversatt af A. Rosén [P. G. Laurin]
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
206
Lärobok i elementerna af plana geometrien.
senare bearbetning, då man ej längre så skarpt skilde på tal och
kontinuerliga storheter. Största svårighet vållade proportionsläran,
i det definitionen på förhållande förutsatte att storheterna vore
kommensurabla. Man måste beundra skarpsinnet hos den man, som
från denna definition på det rationela förhållandet förmådde höja
sig till en allmän definition på analogien, som ej förutsätter
jämförelseledens kommensurabilität. I definitionerna 1, 2, 5, 6, 7, 8
i V boken hafva vi ett system af begrepp fullt tillräckligt för att
grundlägga en oantastelig behandling af de inkomm. storheterna;
def. 3 och 4 synas däremot tillhöra samma period som nyssnämda
def. i VI boken. Så hade man då värkligen genomfört
geometriens lösgörande från aritmetiken, och det så fullständigt att man
under följande skeden, då aritmetiken började studeras, gärna band
den i geometriens bojor, så att ett algebrafckt bevis ej ansågs
bindande, utan måste kompletteras genom ett geometriskt.
Euklides bevisar och utför allt geometriskt, därför att han
ingen aritmetik kan och ingen föreställning kan bilda sig om hur
kontinuerliga storheter kunna uttryckas genom tal. Senare tiders
matematici tillskrifva geometriens bevis större stränghet än
aritmetikens, därför att ännu oklarhet vidlåder deras uppfattning af de
irrationela talen. För nyare tiders matematici, som arbeta med
en kontinuerlig talserie, äro aritmetikens bevis lika stränga och
allmängiltiga som geometriens. Assimilering af aritmetikens och
geometriens metoder är just karaktäristiskt för den moderna
matematiken.
Hos Euklides stå aritmetiken och geometrien oförenliga
gentemot hvarandra. Euklides’ allmänna proportionslära är, betraktad
för sig, mönstergill och dess metoder naturenliga. Men söker man
hafva dess isolering från aritmetiken, står man naturligtvis åter
inför motsatsen mellan talens diskontinuitet och rumsstorheternas
kontinuitet, en fråga som genom Euklides ej bragts ett steg
närmare sin lösning *. För den moderna geometrien har därför
Euklides framställning i II, V, VI böckerna endast ett historiskt
intresse. Bibehålies satsernas egendomliga anordning men
omredigeras bevisen med aritmetikens tillhjälp, går allt intresse
för-loradt.
* Hur litét närmande af aritmetiken och geometrien intresserade
de gamle synes bäst däraf att Euklides i X boken, där han behandlar
de rationela talens proportionslära, ej visar öfverensstämmelsen mellan
den allmänna definitionen på proportionela storheter som han ger i V
boken och den speciela för prop, rationela tal som han ger i X boken.
Detta gör att han t. o. m. begår ett värkligt fel i det han utan att ha
visat definitionernas öfverensstämmelse sätter kommensurabla storheters
förhållande — tals förhållande. Ett liknande fall är oss väl bekant från
VI: 9.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
