ANALYTISK GEOMETRI således hänföras till ett förut givet referens-el. koordinatsystem. Exempelvis kan en punkts läge på jordytan fixeras genom de två koordinaterna latitud och longitud i förhållande till ekvatorn och Greenwichmeridianen. Det vanligast använda koordinatbegreppet återgår på den hos Vieta först utbildade motsvarigheten mellan talen och den räta linjen. Efter val av en längdenhet är en punkts läge på linjen bestämt genom det tal, som mäter avståndet från en fast ”nollpunkt”; därvid fastställes, att avstånd mätas positiva på den ena, negativa på den andra sidan om nollpunkten (se N e g a t i v a t a 1). Den analytiska plana geometrien kom till med Descartes’ (se denne) upptäckt (1637 i ”Discours sur la méthode”), att efter liknande princip en punkts läge i ett plan kunde anges genom två koordinater. I planet läggas två fixa, räta koordinataxlar, x-axeln (vågrät på fig.) och y-axeln, vilka skära varandra (vanl. vinkelrätt) i en gemensam nollpunkt (ori'go); avstånd längs dessa axlar räknas från origo positiva i riktningarna åt h. och uppåt. Om genom en punkt P paralleller PN, PM dragas til) axlarna, så bestämmes P:s läge genom de avskurna styckena OM och ON. Omfatta dessa resp, x och g längdenheter, så äro x och y punktens kartesiska (rätvinkliga) koordinater; den förra benämnes punktens a b-skissa, den senare dess o r d i n a t a. Nära det rätvinkliga står det polära koordinatsystemet, i vilket P:s läge bestämmes genom längden r av dess radius vector OP och vinkeln (p (”am-plituden” el. ”argumentet”), som OP bildar med en fast riktning, t.ex. x-axeln. Ur triangeln OMP har man efter den pytagoreiska satsen (se d.o.) och de trigonometriska funktionernas (se d.o.) definition att r2 = x2 + y2; tg (p = E; x = r cos cp,g — r sin (p. För Descartes och efterföljare blev koordinat-geometrien framför allt ett hjälpmedel att studera ekvationer mellan de som variabler el. ”rörliga” koordinater betraktade x och g. Gav man åt x ett bestämt talvärde, m.a.o. fixerade man en punkts abskissa, så bestämde ekvationen ett motsvarande y-värde (el. möjl. flera). Lät man x oavbrutet genomlöpa olika talvärden, förändrade sig vanl. också g kontinuerligt, och punkten (x, g) upptecknade som bild av ekvationen en sammanhängande linje el. kurva. Så ger x = 2 g sammanfattningen av alla punkter, vilkas abskissa är dubbla ordina-tan, ”föreställer” alltså en viss rät linje genom origo (se fig.). Omvänt kan en geometrisk egenskap ofta enkelt uttryckas analytiskt. Definieras en cirkel med O till medelpunkt som orten för punkter, vilkas radius vector har ett och samma värde a, erhålles genast r2 = x2 + y2 = = a2, vilket alltså blir denna cirkels ekvation. Exemplen illustrera den dubbla uppgift att analytiskt uttrycka kurvor med geometriskt kända egenskaper och att till givna ekvationer härleda den geometriska motsvarigheten, som blev utmärkande för den analytiska kurvgeometrien. Denna tog i första hand sikte på de a 1 g e b r a-i s k a kurvorna, vilka definieras genom ekvationer innehållande x och g endast i vissa po-tenser (se d.o.). Det var sålunda omedelbart klart, att alla ekvationer av första graden i x och g motsvarade räta linjer och tvärtom. En triumf för den nya metoden blev teorien för andragradskurvorna. En sådan uppträdde hos Descartes som den på rent geometrisk väg länge förgäves eftersträvade lösningen till ett berömt problem av Pappos (se denne), och det beredde icke någon större svårighet att visa, att samtliga andragradskurvor äro kägelsnitt, vilkas från antiken välbekanta indelning i typerna ellips, parabel och hyperbel kunde enkelt och elegant analytiskt härledas. Efter Descartes måste som banbrytare nämnas New-ton. Med hjälp av ”fluxionsmetoden” fortsatte denne de av Descartes påbörjade undersökningarna över kurvors tangenter, krökningsförhål-landen m.m. och lade därmed grunden till den högre analysens tillämpningar på koordinatgeo-metrien, numera vanl. under namn av differentialgeometri avskilda som en disciplin för sig. Inom den algebraiska kurvläran genomförde Newton i det närmaste fullständigt klassifikationen av tredjegradskurvor-n a s olika typer. I fortsättningen har den analytiska kurvteorien givit upphov till en utomordentligt rik och alltjämt växande litteratur. Av allmänt grundläggande betydelse blevo under 1800-talet efter funktionsteoriens utveckling sambanden med de algebraiska funktionerna och deras integraler (se Funktionsteori). De med tilltagande gradtal starkt ökade svårigheterna ha dock gjort, att jämförelsevis få mera omfattande kurvgrupper kunnat ingående — 965 — — 966 —