FUNKTIONSTEORI funktioner och deras egenskaper. F. har till sin nuv. omfattning vuxit fram ur algebrans undersökning av genom bestämda räkneoperationer (de fyra räknesätten, potensbildning, rot-utdragning etc.) bildade ”analytiska” uttryck av en el. flera variabler. I naturlig sammankoppling med undersökningar av den analytiska geometriens kurvor inriktades detta studium dels på frågor av principiell natur (ss. tangentproblemet, derivat- och integralbegreppen, se Differentialkalkyl och Integral), dels på bearbetningen ant. av spec. uttryck av algebraisk karaktär el., efter oändlighets- och gränsvärdebegreppens gradvisa utformning, av uttryck, som (exempelvis i form av serier el. integraler) efter någon viss enkel lag bildats genom oändligt många elementära räkneoperationer. Denna trevande inledningsperiod skulle naturligt nog komma att kristallisera sina grundläggande resultat omkr. funktioner med särsk. viktiga och enkla egenskaper, ss. exponentialfunktionen, de trigonometriska funktionerna och dessas omvändningar, logaritmen resp, de cyklometriska funktionerna (se dessa o.). Med den avgörande betydelse, som därvid tillmättes det analytiska uttrycket, sammanhänga de från denna tid (efter Jean Ber-noulli och Euler) härrörande indelningarna i algebraiska och transcendenta el. i explicita och implicita funktioner. Vägledande för utvecklingen blev framförallt den taylorska serien (se d. o.), och ur denna framställningsform skulle i första hand framgå den viktiga underavd. av f., som benämnes ”analytisk f.”. Det skulle snart visa sig, att en verkligt sammanhängande framställning av de analytiska uttryckens egenskaper måste fordra införandet av de komplexa talen (se d. o.). Ett första steg i sådan riktning betyder d’Alem-berts försök (1746) att påvisa, att alla kända räkneoperationer utförda på komplexa tal föra till resultat i form av nya kom plexa tal; Eulers f. av 1748 (”Introductio” etc., se Funktion) sammanfattar ett väsentligt resultat i det genom övergången till den komplexa talvärlden teorien för de ”elementära transcendenterna” (exponentialfunktion, trigonometriska funktioner, logaritm etc.) i ett enda grepp återfördes på exponentialfunktionen (jämte dess omvända funktion); denna funktions väsentliga egenskap att vara periodisk med den imaginära perioden 2 n i fick först efter införande av de komplexa talen sin verkliga och naturliga formulering. Likartat blev fallet med den funktionsklass, som under 1700-talets slut och början av 1800-talet stod i centrum för den speciella f. Till en näraliggande utvidgning utöver de elementära transcen denterna förde problem ur den algebraiska integralkalkylen. Medan integraler över kvadratrötter ur ett andragradsuttryck kunde återföras till kända funktioner, visade det sig, att nästa steg, införandet av tredje- el. fjärdegrads-uttryck under rottecknet, måste leda till integraler sammanhängande med nya transcenden-ter (elliptiska integraler och funktioner). Den av Abel och Jacobi upptäckta dubbla periodici-teten hos de genom dessa integralers omvändning uppträdande funktionerna kunde endast inom det komplexa talområdet komma till klart och riktigt uttryck. Mera allmänt blev den komplexa räkningen den nödvändiga och tillräckliga förutsättningen för den i huvudsak av Abel grundade teorien för den vidsträckta klass av funktioner, de ”algebraiska” funktionerna, där y:s beroende av en komplex variabel x formuleras genom en algebraisk ekvation mellan y och x. I och med att räkningen med komplexa tal, stödd särsk. på Gauss’ auktoritet, allmänt accepterats, förefanns också förutsättningen för en principiell teori för analytiska funktioner. Äran av den första f. i denna mening tillkommer Cauchy. För den cauchyska teorien spelar (i anslutning till Poisson) sambandet med potentialteorien en viktig roll; som definition på den analytiska funktionen f(z) av en komplex variabel z utgår Cauchy från den fordran att f(z), frånsett ev. undantags-el. ”singulära” punkter, skall besitta en derivata i den mening, att gränsvärdet lim f(z+Az)— f(z) Az—>0 Az skall existera och ha samma värde oberoende av det sätt, varpå A z= Ax + iAy går mot noll Utomordentligt fruktbärande har för den analytiska f. räkningen med komplexa integraler (”Cauchys integral”, ”residusatsen”) visat sig vara. Efter Cauchy är f:s utveckling främst knuten till namnen Weierstrass och Riemann. Den förre återgår till den gamla föreställningen om det analytiska uttrycket som väsentligt och betraktar den analytiska funktionen som definierad genom en potensserie, d. v. s. genom den talföljd, som ingår som konstanter i potens-serieutvecklingen. Som regel är därvid den ursprungliga utvecklingen konvergent och framställer funktionen endast inom ett visst cirkelområde (”konvergenscirkeln”) i det komplexa talplanet; att utifrån den givna serien, genom ”analytisk fortsättning”, definiera funktionen även utanför denna cirkel blev från den weier-strassiska utgångspunkten ett grundläggande problem. Riemann återigen utgår, utom från sambandet med potentialteorien, från huvudtanken att beskriva funktionsklasser genom — 547 — — 548 —