Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Funktionsteori
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
FUNKTIONSTEORI
funktioner och deras egenskaper. F. har till
sin nuv. omfattning vuxit fram ur algebrans
undersökning av genom bestämda
räkneoperationer (de fyra räknesätten, potensbildning,
rot-utdragning etc.) bildade ”analytiska” uttryck
av en el. flera variabler. I naturlig
sammankoppling med undersökningar av den
analytiska geometriens kurvor inriktades detta
studium dels på frågor av principiell natur (ss.
tangentproblemet, derivat- och
integralbegreppen, se Differentialkalkyl och
Integral), dels på bearbetningen ant. av spec.
uttryck av algebraisk karaktär el., efter
oändlighets- och gränsvärdebegreppens gradvisa
utformning, av uttryck, som (exempelvis i form
av serier el. integraler) efter någon viss enkel
lag bildats genom oändligt många elementära
räkneoperationer. Denna trevande
inledningsperiod skulle naturligt nog komma att
kristallisera sina grundläggande resultat omkr.
funktioner med särsk. viktiga och enkla egenskaper,
ss. exponentialfunktionen, de trigonometriska
funktionerna och dessas omvändningar,
logaritmen resp, de cyklometriska funktionerna (se
dessa o.). Med den avgörande betydelse, som
därvid tillmättes det analytiska uttrycket,
sammanhänga de från denna tid (efter Jean
Ber-noulli och Euler) härrörande indelningarna i
algebraiska och transcendenta el. i explicita
och implicita funktioner. Vägledande för
utvecklingen blev framförallt den taylorska
serien (se d. o.), och ur denna
framställningsform skulle i första hand framgå den
viktiga underavd. av f., som benämnes
”analytisk f.”. Det skulle snart visa sig, att en
verkligt sammanhängande framställning av de
analytiska uttryckens egenskaper måste fordra
införandet av de komplexa talen (se d. o.). Ett
första steg i sådan riktning betyder
d’Alem-berts försök (1746) att påvisa, att alla kända
räkneoperationer utförda på komplexa tal
föra till resultat i form av nya kom
plexa tal; Eulers f. av 1748 (”Introductio” etc.,
se Funktion) sammanfattar ett väsentligt
resultat i det genom övergången till den
komplexa talvärlden teorien för de ”elementära
transcendenterna” (exponentialfunktion,
trigonometriska funktioner, logaritm etc.) i ett enda
grepp återfördes på exponentialfunktionen
(jämte dess omvända funktion); denna
funktions väsentliga egenskap att vara periodisk
med den imaginära perioden 2 n i fick först
efter införande av de komplexa talen sin
verkliga och naturliga formulering. Likartat blev
fallet med den funktionsklass, som under
1700-talets slut och början av 1800-talet stod i
centrum för den speciella f. Till en
näraliggande utvidgning utöver de elementära
transcen
denterna förde problem ur den algebraiska
integralkalkylen. Medan integraler över
kvadratrötter ur ett andragradsuttryck kunde
återföras till kända funktioner, visade det sig, att
nästa steg, införandet av tredje- el.
fjärdegrads-uttryck under rottecknet, måste leda till
integraler sammanhängande med nya
transcenden-ter (elliptiska integraler och funktioner). Den
av Abel och Jacobi upptäckta dubbla
periodici-teten hos de genom dessa integralers
omvändning uppträdande funktionerna kunde endast
inom det komplexa talområdet komma till klart
och riktigt uttryck. Mera allmänt blev den
komplexa räkningen den nödvändiga och
tillräckliga förutsättningen för den i huvudsak av
Abel grundade teorien för den vidsträckta klass
av funktioner, de ”algebraiska” funktionerna,
där y:s beroende av en komplex variabel x
formuleras genom en algebraisk ekvation
mellan y och x. I och med att räkningen med
komplexa tal, stödd särsk. på Gauss’ auktoritet,
allmänt accepterats, förefanns också
förutsättningen för en principiell teori för analytiska
funktioner. Äran av den första f. i denna
mening tillkommer Cauchy. För den cauchyska
teorien spelar (i anslutning till Poisson)
sambandet med potentialteorien en viktig roll; som
definition på den analytiska funktionen f(z)
av en komplex variabel z utgår Cauchy från
den fordran att f(z), frånsett ev.
undantags-el. ”singulära” punkter, skall besitta en derivata
i den mening, att gränsvärdet
lim f(z+Az)— f(z)
Az—>0 Az
skall existera och ha samma värde oberoende
av det sätt, varpå A z= Ax + iAy går mot noll
Utomordentligt fruktbärande har för den
analytiska f. räkningen med komplexa integraler
(”Cauchys integral”, ”residusatsen”) visat sig
vara. Efter Cauchy är f:s utveckling främst
knuten till namnen Weierstrass och Riemann.
Den förre återgår till den gamla föreställningen
om det analytiska uttrycket som väsentligt och
betraktar den analytiska funktionen som
definierad genom en potensserie, d. v. s. genom den
talföljd, som ingår som konstanter i
potens-serieutvecklingen. Som regel är därvid den
ursprungliga utvecklingen konvergent och
framställer funktionen endast inom ett visst
cirkelområde (”konvergenscirkeln”) i det komplexa
talplanet; att utifrån den givna serien, genom
”analytisk fortsättning”, definiera funktionen
även utanför denna cirkel blev från den
weier-strassiska utgångspunkten ett grundläggande
problem. Riemann återigen utgår, utom från
sambandet med potentialteorien, från
huvudtanken att beskriva funktionsklasser genom
— 547 —
— 548 —
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
