Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Geometri
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
GEOMETRI
att även axiomen uttrycka underförstådda
fordringar och därmed i grunden måste
betraktas som en art postulat. Därtill komma
hos Euklides outtalade satser, beträffande
t.ex. begreppen ”mellan” och den räta linjens
”oändlighet”. Bakom 5:e bokens 4:e
definition döljer sig det viktiga, på Eudoxos
återgående, s.k. arkimediska postulatet, som
utsäger, att av två storheter den ena alltid kan
mångdubblas tillräckligt för att överträffa den
andra, och som ytterst innebär betingelsen för
kontinuitetsföreställningens införande i g. På
alla dessa o.a. punkter har
begreppsdiskussio-nen högst väsentligt klargjort och vidgat g:s
omfattning. Det principiella införandet av
föreställningen om kontinuerlig förändring el.
deformation leder sålunda till topologien (se
d.o.) som den allmänna g., vilken rent
kvalitativt behandlar figurers el. ”mångfalders”
sammanhangsförhållanden. Likaså ha i
samband med kontinuitets- och
gränsvärdesbe-grepp inom g., efter Weierstrass, Dedekind o.a.,
den moderna analysens fordringar på
stränghet blivit avgörande för bestämning av
elementära geometriska föreställningar; så kunde
först mängdläran (G. Cantor, Jordan) ge
möjlighet till en mera tillfredsställande definition
av begreppet linje. De motsägelser med
åskådningen, som den rigorösa abstraktionen förde
till (ss. existensen av kontinuerliga ”kurvor”
utan tangent), gåvo Klein anledning till
distinktion mellan ”linje” i praktisk, synlig
mening och i den abstrakta meningen av en viss
punktmängd; gentemot den idealiserade
”pre-cisionsmatematiken” sätter han
”approxima-tionsmatematiken” som den enda för
åskådningen åtkomliga. En aktuell insats i
närstående riktning är den danske matematikern
Hjelmslevs försök att logiskt uppbygga
ele-mentar-g. med åskådningen och
konstruktionen (teckningen) som principiell grundval.
Framförallt betydelsefull blev emellertid
be-greppskritiken i samband med analysen av
rumsföreställningen. Denna analys ledde till
särskiljande av det vanliga intuitiva rummet,
vars grundegenskaper enl. övlig uppfattning
återge en idealiserad åskådning, från det fysiska
rummet, vars egenskaper bestämmas genom
erfarenheten (el. genom fysikaliska
observationer). Den på kritiken av det länge
misstänkta ”parallellpostulatet” av Gauss, Bolyai
och Lobatjevskij grundade ”icke-euklideiska
g.” (se d.o.) förde till erkännande av
möjligheten av ett fysiskt rum med egenskaper,
skilda från det av Euklides intuitivt supponerade
Den slutgiltiga frigörelsen av rumsbegreppet
från i och för sig ovidkommande
förutsättningar betyder Riemanns ”habilitationsföre-
drag” (1854). Jämsides med denna
utvecklingsväg, som närmast kan sägas beträffa en
g., som valt sitt objekt från fysiken, går en
annan, som på abstraktionens väg strävav att
utifrån den vanliga intuitiva
rumsföreställningen konstruera rumsbegrepp av högre och
allmännare art (”abstrakta rum”). Av denna
art är t.ex. den projektiva g:s rum, om man
som Klein i anslutning till v. Staudt med
uteslutandet av det metriska utgår från rent
deskriptiva (”lägegeometriska”) begrepp. Nära
besläktad med denna strävan är den särsk.
av Peano och Hilbert företrädda
logiskt-for-malistiska utvecklingen av g. i allm., vilken,
med allt starkare betoning av framställningens
abstrakta sida, fattar postulatens
villkorlighet i allt vidare mening och därmed mer och
mer avlägsnar sig från åskådningen. Medan
för Peano o.a. huvudmålet är att fördjupa det
logiskt-formala omdömet, står för Hilbert
(”Grundlagen der Geometrie”, 1902) frågan att
utbilda ”axiomatiken” el. att forma logiskt
motsägelsefria system, som naturligt anpassa
sig att omfatta djupgående problemställningar
inom analys, talteori o.s.v., i förgrunden.
Påfallande är f.ö. inom g:s senare utveckling
parallellismen med algebrans tilltagande
betoning av de rent formella operationerna som
det väsentliga. Särsk. gäller detta
transfor-mations- och gruppteoriens ingripande genom
Jordan, Lie, Klein. Den sistn:s
”Erlangenpro-gram” (1872) upphöjer gruppteorien till
allmänt klassificerande princip för olika arter av
g. För denna uppfattning blir slutl. en g. inom
en viss ”mångfald” av element liktydig med
studiet av sådana egenskaper hos elementen,
som äro oföränderliga (”invarianta”) gentemot
en viss grupp av transformationer. Som
”sammanhang” i topologisk mening kunna t.ex.
definieras sådana egenskaper (hos en rumsfigur,
yta el. dyl.), som ej förändras genom
kontinuerliga transformationer. Tillämpad på den
allmänna metriska g. för principen tillbaka till
den Riemannska indelningen i olika typer av
icke-euklideisk g. Att därjämte de allmänna
spekulationer (utgående från Maxwell,
Min-kowski, Einstein), som nu gå under namn av
relativitetsteori och som söka att sammanfatta
det fysiska universum till en världsbild i en
flerdimensional g., visa sig föra till
formuleringar av samma art som denna abstrakta g.,
hör till de märkligaste ex. på den
enhetlighet, som så ofta präglar och sammanbinder
väsentliga framsteg på olika områden av det
teoretiska tänkandet. Som slutlig
sammanfattning kan så sägas, att g. hämtat och alltjämt
hämtar sin livskraft ur en egendomlig
motsättning och samverkan mellan primitiv
åskåd
— 165 —
— 166 —
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
