DIFFERENTIALKALKYL rential- och integralekvationer. Frånsett tidigare föregångare som Descartes, Fermat, New-ton, Leibniz, Euler o. a., går nutida d. framför allt tillbaka på två källor, Monges »Applications de 1’analyse å la géométrie» (1795) och Gauss’ »Disquisitiones generales circa super-ficies curvas» (1827). Medan Monge och hans stora geometriska skola, till vilken bl. a. Du-pin hörde, huvudsaki. ägnat sig åt att på grundval av den geometriska åskådningen fullkomna de analytiska metodernas tillämpning på i praktiken viktiga ytor, är det hos Gauss fråga om en enhetlig och djupgående teori, vars verkliga räckvidd först senare skulle visa sig; som centrum i denna teori står den berömda satsen, att det allmänna kröknings-måttet är oföränderligt vid böjning. I Gauss’ anda ha betydande forskare (Jacobi, Codazzi, Bonnet o. a.) arbetat vidare, men den avgörande utvecklingen skedde med Riemanns habi-litationsföredrag 1854. Efter Riemann är d. icke endast ett specialområde av matematisk metodik, utan den omfattar, sedan den befriats från inskränkningen till dimensionstalet 3 och den euklideiska rymdens måttbestämning, en väsentlig del av den teoretiska fysiken; det är söm yttersta konsekvens av de Gauss-Rie-mannska idéerna, som d. mynnar ut i den Minkowski-Einsteinska relativitetsteoriens storslagna grepp, att till en enhetlig världsgeometri sammanföra hela det fysiska universum. Se vidare Analytisk geometri, Differentialkalkyl, Integralkalkyl, I c k e-e uklideisk geometri och R e 1 a-tivitetsteori. Z-n. Differentia'linstrument, apparat för mätning av fysikaliska storheter, karakteriseras därav, att endast differensen mellan två storheter (icke dessa själva) bestämmes. Verkan av en viss storhet kompenseras genom att anbringa en i motsatt riktning verkande, nästan lika storhet, varpå den resulterande effekten uppmätes. Ett karakteristiskt ex. är balansvågen; bland övriga d. märkas differentialgal-vanometern (se Galvanometer) samt de vid kryoskopiska och ebullioskopiska undersökningar använda instrumenten differentialtermometern (se Termometer) och differentialmanometern el. differentialtensimetern (se Manometer). N. R-e. Differentia'Ikalky'l, räkning med differentialer (se nedan), egentligare räkning med deriva-lor (se d. o.). Vanl. inbegripes under d. utom derivaträkningens allmänna satser och metodik också vissa nära liggande tillämpningsområden, ss. delar av differentialgeometrien och funktionsteorien (se d. o.). Grundläggande för d., liksom över huvud för den matematiska analy sen, äro dels föreställningen om kontinuerligt för änderliga storheter (variabler) och därav beroende funktioner, dels det precist fattade gränsvär-desbegreppet. I modern framställning är derivatan, definierad som gränsvärde, d:s primära material, medan för äldre uppfattning den mindre precisa föreställningen om räkning med »oändligt små» kvantiteter träder mera i förgrunden (härav den ofta använda benämningen infinitesimalkalkyl som sammanfattning för d. och integralräkning). Som oändligt liten el. infinitesimal betecknas därvid en variabel kvantitet, som vid någon viss gränsprocess tänkes gå mot värdet 0; två sådana kvantiteter a, /S sägas vara av samma ordning, om deras kvot — har ett ändligt, från 0 skilt gränsvärde; går kvoten mot 0 el. oändligheten, är a i förhållande till p oändligt liten av högre resp, lägre ordning. — Om en oberoende variabel x ändrar sitt värde med ett infinitesimalt tillskott, benämnes detta tillskott differentialen av x och tecknas vanl. dx. Är vidare y = f(x) en funktion av x besittande derivatan f'(x), definieras differentialen av y genom produkten dy — f'(x)dx. Skrives denna ekvation i formen; f'(x) är derivaten, därest denna dx existerar, framställd som differentialkvoten av y med avseende på x, i uppenbar överensstämmelse med den brukliga definitionen lim f^h=o—;— D:s metoder jämte de i samband därmed utvecklade exakta reglerna för räkning med gränsvärden äro av fundamental betydelse för den allmänna funktionsteorien; dess systematiska utformning betyder därmed i hela matematikens utveckling ett kapitel av oöverskådlig vikt. En central plats intar i tillämpningarna den s. k. medelvärdssatsen med den därur härledda t a y 1 o r s k a serien (se d. o.). — Infinitesimalkalkylens upptäckt tillskrives vanl. i ungefär lika grad N e w t o n och Leibniz. Emellertid hade före dessa stora nydanare det infinitesimala betraktelsesättet alltsedan 1600-talets första årtionden under påverkan av den ur mekanikens grundproblem framsprungna känslan för kontinuerlig förändring genomgått en snabb utveckling i anknytning till vissa med dessa mekaniska frågor nära sammanhängande geometriska problem. Det var framför allt fyra viktiga frågor, alla i grunden geometriska om-klädningar för differential- och integralkalkylens grundproblem, som upptogo intresset: 1) maximi- och minimibestämningar; 2) be — 329 — — 330 —