Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Geometri - Geometridae - Geometrisk - Geometrisk addition - Geometriska tecken - Geometriska tiden - Geometrisk axel - Geometrisk karta - Geometrisk konstruktionsritning - Geometrisk ort - Geometrisk progression - Geometrisk rörelselära - Geometrisk serie, geometrisk progression
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
GEOMETRIDAE
och som ytterst innebär betingelsen för
kon-tinuitetsföreställningens införande i g. På alla
dessa o.a. punkter har begreppsdiskussionen högst
väsentligt klargjort och vidgat g:s omfattning.
Det principiella införandet av föreställningen
om kontinuerlig förändring el. deformation
leder sålunda till topologien* som den
allmänna g., vilken rent kvalitativt behandlar
figurers el. ”mångfalders” sammanhangsförhållanden.
Likaså ha i samband med kontinuitets- och
gränsvärdesbegrepp inom g., efter Weierstrass,
Dedekind o.a., den moderna analysens fordringar
på stränghet blivit avgörande för bestämning
av elementära geometriska föreställningar; så
kunde först mängdläran (G. Cantor, Jordan) ge
möjlighet till en mera tillfredsställande
definition av begreppet linje. De motsägelser med
åskådningen, som den rigorösa abstraktionen
förde till (ss. existensen av kontinuerliga
”kurvor” utan tangent), gåvo Klein anledning till
distinktion mellan ”linje” i praktisk, synlig
mening och i den abstrakta meningen av en viss
punktmängd; gentemot den idealiserade
”preci-sionsmatematiken” sätter han
”approximations-matematiken” som den enda för åskådningen
åtkomliga. En aktuell insats i närstående
riktning är den danske matematikern Hjelmslevs
försök att logiskt uppbygga elementar-g. med
åskådningen och konstruktionen (teckningen)
som principiell grundval.
Framför allt blev emellertid begreppskritiken
i samband med analysen av rumsföreställningen
betydelsefull. Denna analys ledde till
särskiljande av det vanliga intuitiva rummet, vars
grundegenskaper enl. vanlig uppfattning återge
en idealiserad åskådning, från det fysiska
rummet, vars egenskaper bestämmas genom
erfarenheten (el. genom fysikaliska observationer).
Den på kritiken av det länge misstänkta
”parallellpostulatet” av Gauss, Bolyai och
Lobat-jevskij grundade i c k e-e uklidiska
geometrien* förde till erkännande av
möjligheten av ett fysiskt rum med egenskaper, skilda
från det av Euklides intuitivt supponerade. Den
slutgiltiga frigörelsen av rumsbegreppet från i
och för sig ovidkommande förutsättningar
betyder Riemanns ”habilitationsföredrag” (1854).
Jämsides med denna utvecklingsväg, som
närmast kan sägas beträffa en g., som valt sitt
objekt från fysiken, går en annan, som på
abstraktionens väg strävar att utifrån den vanliga
intuitiva rumsföreställningen konstruera
rumsbe-grepp av högre och allmännare art (”abstrakta
rum”). Av denna art är t.ex. den projektiva
g:s rum, om man som Klein i anslutning till
v. Staudt med uteslutandet av det metriska
utgår från rent deskriptiva (”lägegeometriska”)
begrepp. Nära besläktad med denna strävan
är den särsk. av Peano och Hilbert företrädda
logiskt-formalistiska utvecklingen av g. i allm.,
vilken, med allt starkare betoning av
framställningens abstrakta sida, fattar postulatens
villkorlighet i allt vidare mening och därmed mer
och mer avlägsnar sig från åskådningen.
Medan för Peano o.a. huvudmålet är att fördjupa
det logiskt-formala omdömet, står för Hilbert
(”Grundlagen der Geometrie”, 1899) frågan att
utbilda ”axiomatiken” el. att forma logiskt
rnot-sägelsefria system, som naturligt anpassa sig
att omfatta djupgående problemställningar inom
analys, talteori o.s.v., i förgrunden. Påfallande
är f.ö. inom g:s senare utveckling
parallellis-men med algebrans tilltagande betoning av de
rent formella operationerna som det väsentliga.
Särsk. gäller detta transformations- och
gruppteoriens ingripande genom Jordan, Lie och Klein.
Den sistn:s ”Erlangenprogram” (1872) upphöjer
gruppteorien till allmänt klassificerande princip
för olika arter av g. För denna uppfattning blir
slutl. en g. inom en viss ”mångfald” av element
liktydig med studiet av sådana egenskaper hos
elementen, som äro oföränderliga (”invarianta”)
gentemot en viss grupp av transformationer (jfr
Invariantteori). Som ”sammanhang” i topologisk
mening kunna t.ex. definieras sådana, egenskaper
(hos en rumsfigur, yta e.d.), som ej förändras
genom kontinuerliga transformationer.
Tillämpad på den allmänna metriska g. för principen
tillbaka till den riemannska indelningen i olika
typer av icke-euklidisk g. Att därjämte de
allmänna spekulationer (utgående från Maxwell,
Minkowski, Einstein), som nu gå under namn
av relativitetsteori och som söka att
sammanfatta det fysiska universum till en världsbild i
en flerdimensional g. (jfr Dimension), visa sig
föra till formuleringar av samma art som denna
abstrakta g., hör till de märkligaste ex. på den
enhetlighet, som så ofta präglar och
sammanbinder väsentliga framsteg på olika områden av
det teoretiska tänkandet. Som slutlig
sammanfattning kan sägas, att g. hämtat och alltjämt
hämtar sin livskraft ur en egendomlig
motsättning och samverkan mellan primitiv åskådning
och en till det yttersta driven abstraktion. Z.
Geomefridae, fam. bland mätarfjärilarna*.
Geome’trisk, som hänför sig till geometrien.
Geometrisk addition, se Vektor.
Geometriska tecken, se Matematiska tecken.
Geometriska tiden, konsthist., se Geometrisk stil.
Geometrisk axel, matem., se Symmetri.
Geometrisk karta, se Karta.
Geometrisk konstruktionsritning, se Linearritning.
Geometrisk ort, en sökt linje el. yta, vars alla
punkter uppfylla ett visst givet villkor. Så är
cirkellinjen g. för alla punkter med samma avstånd
till en given punkt. Andra ex. på g. äro ellipsen
och klotytan. G. kan även uppfattas som alstrad
av en av sina punkter. Ex.: G. för en punkt, som
rör sig så, att den hela tiden har lika stort avstånd
till en given punkt A som till en annan B, blir en
rät linje, linjen AB:s s.k. mittnormal.
Geometrisk progression, se Geometrisk serie.
Geometrisk rörelselära, dets. som kinematik*.
Geometrisk serie, geometrisk
progression, matem. En följd av tal säges bilda g., om
hela tiden varje tal erhålles ur det närmast föreg.
genom att multiplicera med ett och samma tal,
den s.k. kvoten. Ex: 1, 3, 9, 27, 81 o.s.v. (kvoten
= 3); 8, 4, 2, 1, V2, W o.s.v. (kvoten = V2). Ett tal
i en g. blir alltid geometriskt medium av närmast
föregående och efterföljande tal. Om en i en
sparbanksbok insatt penningsumma år efter år får stå
inne mot t.ex. 3 °/o ränta och tillgodohavandet i
sparbanksboken uträknas vid varje års slut, bilda
o
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
