Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
134
teknisk tidskrift
21 sept. 1929
och om möjlighet beredes för sådana att utveckla sig,
så kan man göra sig räkning på att åtminstone uppnå
ett tillfredsställande närmevärde till vad man önskar.
2. Man antager ett horisontellt ringavsnitt
ABCD = råa X år (fig. 2 och 3) emellan två
angränsande strömmantlar, varvid d betecknar en oändligt
liten storhet, ehuru icke tidsbestämd eller på annat
sätt bestämd differential.
En vätskepartikel i A förflyttar sig på tiden dt till
A’, vars koordinater i förhållande till A äro dh, rda
och dr, samtliga tidsbestämda differentialer = resp.
dh rda , , dr
— • dt, — - • dt och — ■ dt.
dt dt dt
kalprojektion: /
öo + lf^o
utvunnet partiellt ur (/-ekvationen. Härvid obser-
veras, att den partiella derivatan
■GH
da
dels
blivit skriven i förkortnin"
5 (da)
-,dels också att denna
distansen A’C’ blir dr-|-
4
derivata måste multipliceras med distansen da för att
erhålla därtill hörande tillskott.
På samma sätt finner man vid förläggandet av en
strömlinje i C, varvid i förhållande till A A’ da hålles
konstant, men r och dr förändras, ur (/-ekvationen att
dr
Också bildas riktningen av strömlinjen genom D
genom att hålla fast värdena för BB’ och låta dr
förändra sig, eller värdena för CC och låta da förändra
sig, alltså partiella förändringar ur ^-ekvationen av
både r, dr och da- Som synes är det här icke så
mycket fråga om själva koordinaterna för punkterna A’, B’,
C" och D’. utan om dessa punkters inbördes distanser,
som framkomma av de ursprungliga rda och dr genom
inberäkning av koordinatförändringarna.
Emellan dessa till varandra oändligt närbelägna
strömlinjer fortskrider nu vattnet, inneslutet av dem
som i ett rör, emedan de i likhet med AA’ äro
hastighetsriktningarna för rörelsen (se fig. 2). Vad som
rinner in genom arean ABCD, rinner ut genom arean
A’B’C’D’. Dessa areor ligga horisontellt, den förra
på grund av antagande, den senare på grund av
konstruktion.
Den vertikala hastigheten i A är ~ och på grund
dt
av symmetrien också i B.
i den homologa kanten
A’B’ är =
Den vertikala hastigheten
som erhålles genom partiell derivering av
/-ckvatio-dr
nen om r och — hållas konstanta.
dt
Här skall nu på vanligt sätt räknas med dessa
hastigheter i homologa kanter av de två planen.
Eljest är hastigheten i
/ 3 (m
„ , ^ [dh Xdtj
C och D = \ — +
dr
\dt
L)
och i
Den därav uppstående ström-
i horisontalprojektion:
linjen AA’ må hava de följande ekvationerna: i
verti-/ dr dh\ „
[r>dt>dt’)=°>
gir,^j }) = 0. I skärningen mellan härav bestämda
\ CiL ClV )
plan ligger strömlinjen A A’A".
En angränsande strömlinje i B får med i förhållande
dr
till A bibehållna r och — sin riktning genom B’
bestämd därav, att da förändrat sig, så att
A’ B’ är = (r + dr)
C’ och D’ =
/ , (dh] (dh\ \
dh , [dtj , ldt) 5
––––––––ah A— — or .
\dt T dh ^ dr /
allt ur /-ekvationen, om man för C’ och D’
försummar en högre ordning av föränderligheten dr. Det
blir således samma tillägg till hastigheten i
innerkanten för ytterkantens hastighet för båda planen och det
visar sig av den följande räkningen, att sådana lika
tillägg bortfalla. Samma omständighet inträffar också
beträffande själva areorna, där man kunde begagna
de homologa kanterna AB och A’B’, men för att få
frågan löst, må man räkna med medelbågarna,
ehuru det blir något besvärligare.
Det blir sålunda: area X hastighet:
l àr\, dh t , år 1 d(dr) ’
åa+^,a)(år+^år^
I 4
dh V
\dt
dh\
dt)
dhT
■ dh
Vid multipliceringen härav förkastas alla ordningar
högre än en ordning över den lägsta och man
erhåller, sedan det konstanta dt inflyttats under de
partiella differential-märkena:
dr
dt^
d(dr) d(d0\ a"")
\dt) [dt/ \dt]
- + + r-
dr - da dh
som är Eulers kontinuitets-ekvation för
polar-koordinater, nu härledd här, som sig bör, med hjälp
av strömlinjer.
Räkning med medelradier i stället för homologa
radier hade intet inflytande på resultatet. Ej heller
hade det haft något inflytande, om man i all
stränghet justerat
dh
dt
och
/ afl
\dt ^ dh
för medelradien av de båda horisontala
genomgångsareorna.
3. Förestående resultat må nu granskas. Den
periferiella distansen A’B’ var noterad
3 (do)
= (r + rör) 1(5
da
Det är icke förenligt med strömlinjernas läge i
cirkulära mantlar, förutsättning 2, att öppningsvinkeln åa
skulle förändra sig från nivå till nivå. Man skulle
med en fortfarande ökning eller minskning därav
komma ur symmetrien och eljest icke kunna fà de
angränsande elementen att fortfarande fylla en hel
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
