Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
23 febr. 1929
VÄG- OCH VATTENBYGGNADSKONST
27
så att till varje æ-värde bestämma k så, att y blir
minimum, dvs. man har att lösa ekv. syst.
dy
Men detta blir geometriskt detsamma som att söka
enveloppen till den skara räta linjer, som är definierad
genom y = † (x, k) — varje A;-värde ger nämligen en
rät linje. Vid konstruktionen finner man, att det
räcker med att rita upp linjerna för k = 1; 1,25; 1,5;
1.75, och att kurvan så nära ansluter sig till dessa, att
man kan använda motsvarande stycken av linjerna
själva. Därför behöver man icke ens rita upp linjerna
utan kan taga värdena för — direkt ur följande tabell.
k 1 användes för
C
1 J(m + 2) m > 5
21 15
1,25 4ö(3m+5) 5 > m > —
5 15 21
1,50 -{2m-\- 3) TI >W> 85
H)(5m+ 21
1,75 — > m> 0 85 — —
För t. e. m = 0, alltså för den prismatiska staven,
1 99
erhålles ur denna tabell —= — = 2,475. Eulers
for-c 40
n2
mel ger det exakta värdet — = 2,467, således är felet
mindre än 1/3 %.
För m — 8,3. ger tabellen 15,45, under det att
Stephan för samma värde får 15,^7, alltså en skillnad
på c:a %.
Som andra exempel betrakta vi en serie runda
stavar, vars tvärsnittsradier variera efter funktionen
— J , då x räknas från den fria änden. Mot
varje värde på n svarar en bestämd stavform, och
genom att låta n variera mellan vissa gränser erhåller
man alltså en hel serie stavar. Genom att dessutom
bestämma radien vid infästningsstället, R, så, att alla
stavarna få samma volym v, erhålles således en serie
stavar, av samma längd och samma volym.
För att bestämma det Eulerska knäckningsvärdet
insättes alltså
tz T x
I ==–––– och — = t i ekv. (4), och man erhåller
4 l
jiEW
4 P P ’
i
t in (u"† dt = I (u’† dt
(a)
För beräkning av R liar man
K K
v = \ nr2dx = nR2 I
(’ (x\2n 7 jiRH
j It) dx= 2w-; i’
och detta insatt i (a) ger konstanten framför
integralen värdet
E v2 ■ (2 n + l)2
T^Tpv- ...............()
C’ =
Vi antaga nu ett godtyckligt, men bestämt, rø-värde,
insätta u’ (t) = t1—1 i ekv. (a) och erhålla
i i
r 4»+ 2/1-2 r l 2 k k
C„ • \ k2 ■ t ■ dt= j —2 t +1 Jdt.
Genom integration får man slutligen
c fe2 1___?__f- 1 =
n in 2 k — 1 2 k+ 1 fe + l"1"
2 k2
eller
(2 k + 1) (k + 1)
1) + 2Ä
"M 2 k2 3 k -f 1 ................ (C)
Nu skall k bestämmas säj S/tt C„ blir maximum.
Eftersom det vid denna metod ofta förekommer, att
max. eller min. skall bestämmas för uttryck av formen
a 4- b k
z — - - „- , ,––-, där a, b, c, d, e äro konstanter,
c k2 -f- d k + e
k variabel, är det praktiskt, att en gång för alla göra
sig en maximumformel. Genom derivering etc.
erhåller man, att för c > 0.
b2
^ min -
bd — 2 ac ± 2 c a2 -f -{be—ad)
för k = —
&±J-\A2 + ’-{be—ad)
vari maximum erhålles med de övre och minimum
med de undre tecknen.
I föreliggande fall ger oss denna formel efter
förkortning med 4 maximumvärdet.
2
C *—–––-
2,5 — 4 n -fv’lßw2— 20 n +6
Insättes detta i ekv. (b) får man alltså det sökta
P-värdet
E v2 ■ (2 n + l)2
....(5)
Pn<
2,5— 4« +
8
+ V16 M2 — 2ÖT+6) ................ (d)
Eftersom den Eulerska formeln för den cylindriska
staven med samma volym ger knäckningsvärdet
P =
X f, —
E-I
• E ■ n Rl
jiEV2
: i<;/: :
4 l2 4 ■ I2 ■ 4
kan [d) för bättre översikts skull också skrivas:
. 2 (2 n + l)2
P,<
71
(^2,5— 4n +
+ \JlQn2 — 20w+ 6) • 2 = K in). Pe
där alltså Pe är det exakta värdet för den cylindriska
staven och
_ 2 (2 n + l)2
K{n)
■ (2,5-
■ 4« +
eller
+ v/"l6w2 — 2ÖW + 6).
71 Ev2
?n < K [n)
16 Z4
(e)
(f)
För 71— 0 är staven cylindrisk, och formeln ger
K(o) — 1,003, dvs. ett värde, som endast är 0,3 %
förstört. Genom att insätta olika värden på n får man
kurvan i fig. 2, som ger ett översiktligt samband
mellan stavformen och knäckningsvärdet. För n > ■|
blir kurvan imaginär. Man ser genast, att de starkaste
stavformerna erhållas, om n tages omkring 0,25, alltså
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
