Teknisk Tidskrift / 1934. Mekanik / 33 (1871-1962) Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
	Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Häfte 3. Mars 1934 - Br. Fänge: Beräkning av radierna till trappremskivor

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>

Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

Tabell 3. Korrektionsterm vid beräkning av (R + r).

k = (10 000/[pi]) · (x² + x⁴/12).

x	k		x	k		x	k
0,01	0		0,16	82		0,31	308
0,02	1		0,17	92		0,32	329
0,03	3		0,18	103		0,33	350
0,04	5		0,19	115		0,34	372
0,05	8		0,20	128		0,35	391
0,06	12		0,21	141		0,36	417
0,07	16		0,22	155		0,37	441
0,08	20		0,23	169		0,38	465
0,09	26		0,24	184		0,39	490
0,10	82		0,25	200		0,40	516
0,11	39		0,26	216		0,41	543
0,12	46		0,27	233		0,42	570
0,13	54		0,28	251		0,43	598
0,14	63		0,29	270		0,44	626
0,15	72		0,30	289		0,45	656

Denna ekvation kan sålunda lösas algebraiskt. Den
positiva roten blir

r =	[pi](m + 1)	[[kvadratrot](1 +	4(L — 2)(m – 1)2	) –1].
	————————————		————————————————
	2(m — 1)2		[pi]2(m + 1)2

Utvecklas rotmärket i digniteter av

4(L – 2)(m – 1)2

————————————————

[pi]2(m + 1)2

enligt binominalteoremet och försummas termer av
högre ordning, erhålles följande uttryck

r =	(L – 2)	–	(L – 2)2(m – 1)2
	———————————		————————————————
	[pi](m + 1)		[pi]2(m + 1)3

Äro radierna mindre än 0,05 kan även andragradstermen
i (5) försummas, och y blir konstant.
Problemet kan då behandlas på samma sätt som för den
korsade remmen. (Se nedan.)

För att slutligen komma till en grafisk lösning,
återgå vi till ekvation (1), som efter elimination av
(alpha) kan skrivas

L = 2[kvadratrot](1 – (R – r)2) + [pi](R + r) + 2(R – r) arcsin(R – r).

Låta vi R och r bli koordinater i ett vanligt
rätvinkligt koordinatsystem, så kommer denna ekvation
för ett visst L-värde att representera en kurva.
Eftersom R och r kan permuteras utan att detta
medför någon förändring, blir denna kurva
symmetrisk kring första axelvinkelns bissektris. Av (5)
framgår att den blir av parabelliknande form.
Införandet av x och y i st. f. R och r enligt (3) innebär
nämligen i realiteten endast en vridning av
koordinatsystemet med en vinkel av 45°, och ekvation (5)
representerar sålunda samma kurva men i ett annat
koordinatsystem. Här framgår emellertid tydligare
att alla de kurvor, som erhållas för olika L-värden
äro av samma form, ty om L ändras, medför det
endast att y-värdena ändras med samma belopp, och
det resulterar i en förskjutning av hela kurvan längs y-axeln.

I fig. 2 äro dessa kurvor utritade med R och r
såsom rätvinkliga koordinater. Ett visst
utväxlingsförhållande representeras i detta
koordinatsystem av en rät linje genom origo. I
diagrammet äro sådana linjer utritade för varje tiondels
enhet av m. Genom denna grafiska framställning få
vi sambandet mellan de fyra storheterna R, r, L och
m på ett mycket översiktligt sätt åskådliggjort. För
att bestämma remmens längd ha vi endast att se
efter pä vilken kurva den punkt ligger vars
koordinater äro R och r. Det går emellertid lika lätt att
ur m och L bestämma radierna. Man har då endast
att söka koordinaterna för skärningspunkten mellan
den kurva, som motsvarar det givna värdet på L och
den räta linje som m representerar. Att interpolera
för sådana L- och m-värden, som icke äro direkt
utsatta på diagrammet vållar ingen som helst
svårighet, eftersom intervallen äro konstanta. Visserligen
gäller icke detta för de m-värden som äro utsatta
vid högra kanten, men detta beror ju endast på att
det här är fråga om skärningspunkterna med en
vertikal linje. Använder man i stället skärningarna
med en horisontell linje bli intervallen konstanta.

        Korsad rem.

Om man på motsvarande sätt som i det föregående
härleder uttrycket för den korsade remmens längd

Fig 3

(fig. 3), blir skillnaden endast den att man i uttrycket
för sin (alpha] får R + r i stället för R – r. Sålunda blir

L = 2[kvadratrot](1 – (R + r)²) + [pi](R + r) + 2(R + r) arcsin(R + r).

Här blir högra membrum en funktion av (R + r)
endast, vilket innebär, att för ett visst L-värde blir
radiernas summa, R + r, konstant. Detta medför en
högst väsentlig förenkling av hela problemet. Om
man inte önskar veta remmens längd, kan man nöja
sig med att öka den ena radien och minska den
andra med samma belopp, tills man får det önskade
ut växlingsförhållandet. Om denna ökning resp.
minskning betecknas med d har man sålunda att

R0 – d	= m
———————
r0 + d

där R₀ och r₀ betecknar de ursprungliga radierna.
Löses d ur denna likhet få vi

d =	R0 – r0m
	————————
	m + 1

De nya radierna bli

R = R₀ – d

r = r₀ + d.

På grund av detta förhållande att radiernas summa
är konstant blir ett diagram för en trappremskiva
med korsad rem tämligen överflödigt.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>