Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 9. Sept. 1935 - Om den asymptotiska formen på insvängningsförloppet vid en homogen rationell kedjeledning, av Konstantin Dahr
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
7 sept. 1935
ELEKTROTEKNIK
139
/» =
v_
vn
A(p)
B (V)
(P)
[P)
(6)
där A (p) och B [p) äro polynomer (med reella
koefficienter) i operatorn p. Sålunda blir t. e. vid den
allmänna trekretsledningen (jfr fig. 2):
Fig. 2.
r(p) =
-V-.
U’ -f U"
v -f- ü" -f 4 U
1
V
U1 4- ü"
(?)
ü< U" -f 4 U
Här beteckna U, U’, V" de tre
impedanskretselemen-ten Z, Z’, Z", om trekretsledningen är stjärnkopplad,
eller de tre admittanskretselementen Y, Y’, Y", om
den är delta-kopplad. Eftersom ju:
Z(p)=pL+R + -V Y(p) = pC + A+~l (8)
ser man genast, att A (p) och B (p) bli polynomer av
högst andra graden vid denna ledningsklass.
Vi skola nu i korthet behandla den intressanta
frågan, huruvida det på grund av den analytiska
formen (6) på T (p) är möjligt att veta något à priori
om den asymptotiska formen på funktionen vk+1 (t).
Härför måste vi först erinra om en allmän
utvecklingssats i operatorkalkylen.
Antag man söker den asymptotiska formen för en
funktion
f(t) = F(p).H(t) (9)
Låt q vara en singulär punkt för funktionen
Fjp)
V
den komplexa variabeln p, t. e. en pol eller en
förgreningspunkt. Varje dylik punkt ger sitt additiva
bidrag till / (i); vi beteckna detsamma med lq {t).
För att finna formen på lq (t) för stora värden på
t använda vi först den s. k. förskjutningssatsen,
vilken lyder:
f (t) = eqt-F (p -f q) ■ e~qt ■ H (t)
eller (10)
†{t)=e«t.F{p + q).j) P g-H(t)
(q får här vara ett godtyckligt tal).
Vi antaga nu, att punkten q är sådan, att i
omgivningen av origo, \p\ < a, gäller en utveckling av
formen
n
F (p + ?)– ^ V*-Knip) (11)
varvid:
V=1
< s2 <• • <sn,
r» m <«■
s > 0 och
för alla tillräckligt stora värden på n; e betecknar
ett godtyckligt litet positivt tal.
Om q är en förgreningspunkt antaga vi ett
exempelvis rätlinjigt förgreningssnitt inlagt mellan q och oc
i negativt reella halvplanet. Vidare förutsätta vi, att
det är möjligt att bestämma två reella tal K > 0 och
k. så att olikheten
F(p)\<K.ek’ p~q
gäller på båda ränderna av snittet utanför
omgivningen p—q < a (a är samma tal som nyss).
Den sats ur operatorkalkylen, som vi behöva
åberopa, utsäger att under de angivna förutsättningarna
gäller asymptotiskt
dvs. numeriska värdet av skillnaden mellan v. 1. och
li. 1. i detta uttryck förblir mindre än ett
godtyckligt litet positivt tal e för alla tillräckligt stora
värden på t, säg för t > T[é’).
Bestämningen av T vid givet e kan göras på
olika sätt och blir i regel mer komplicerad, ju
fördelaktigare värde på T man eftersträvar. Då den
följande enkla undersökningen endast har kvalitativ
karaktär, behöva vi icke här gå närmare in på denna
fråga.
I (12) betecknar II Gauss’ pi-funktion: II [z) =
= T(z+ 1).
Om det singulära stället är en pol av ordningen
N + 1 lyder (11)
r, , , V a—N , AT4-1 ö—1
F(p + q)–- = —- -i–4- 4––– -4-
W † 50 p + q pN T" pN-1 -†-•••"† p -T
+ «„ + «! P+ ...
och eftersom, då n är ett positivt helt tal, II [n) —
= | n och II (—ra) — oo, ger oss (12):
Iq(t) = e’".(a_N.L+...a_i. *f+«„)• (13)
I detta fall framställer f. ö. uttrycket i högra
membrum den exakta (alltså icke bara asymptotiska)
formen på beståndsdelen / (t).
Föreligga flera singulariteter qt, q2..erhålles
givetvis den asymptotiska dominanten till f (t) från
den längst åt höger belägna punkten q. Ligga flera
punkter q på samma linje parallell med imaginära
axeln i p-planet, måste motsvarande bidrag lq (t)
adderas.
Vi återgå nu till formlerna (4) och (6), som giva
vk + 1(t)=F(p).HJ)
B(p)
F(j>) =
V
1
B(p)
(14)
Sättes p = i co erhålles ett uttryck, som svarar mot
ett stationärt växelströmstillstånd på ledningen.
Av fysikaliska orsaker måste F (i co)j < 1, emedan
i annat fall spänningen skulle växa obegränsat
utefter kedjeledningen. Av denna fordran bestämmes,
vilken bransch av kvadratroten, som skall användas.
Vi kunna alltid förutsätta, att polynomen A [p)
och B (p) äro relativt prima, och beteckna med a
resp. ß ett nollställe till ettdera av dem. Enligt (11)
ha vi att undersöka utvecklingen kring origo av
funktionen:
F(P + «)
P
p 4t a
1
V
A(p + «) k
B(p + a) P
A[p + «) p — a
B (P j- a).
,(15)
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
