Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6. Juni 1936 - Operatorräkning efter olika metoder, av E. T. Glas
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TekniskTidskrift
Im I
p-plan
tJ
rig. t
Re
Fig. 3
E(t)-E(0)+-£(t) förtio
EU)-O » t
Fig. 1-3.
Genom Laplace-transformationen (2 sista
ekvationen) avbildas varje funktion E (t) på ett komplext
p-plan, så att ekvivalenten V (p) uppkommer
(Car-son, van der Pol jun.)1. Funktionen sin co t av t
avbildas exempelvis till funktionen „°J ^ „ av p.
co2 p*
Denna ekvivalens genom avbildning skrives
mp
co’’ -f- p
Enligt (3) måste man emellertid, när man bygger
d
upp teorien på detta sätt, avstå från att sätta
sin cat
dt
E (t) = p ■ E (t) i sådana fall, där E (o) 4= 0.
d p2
Ex. 3. Man har , sin co t = co • eos o t = co ■
dt cß+p*
co p
= P ■ vrr , — p • sm co t
oß + p2 r
d • °>p
men , coso>f = — oj-sin ot = — co ■
––-dt o>2 + p2
p2
vilket
beror nå att sin (°) = 0 1
beror pä, att cog = , + Q f
Däremot gäller enligt (3) att ^ eos o> t
I ex. 1 kan man utan att ändra resultatet införa
E’ {x) — p • E (t). Detta går däremot icke för sig i
ex. 2, där man måste stryka E (O), om samma
konstgrepp skall ge rätt resultat. Använder man alltså
(1) för att transformera en given i-funktion till en
jw-funktion, är det i vissa, men icke i alla, fall
till-lätet att multiplicera med p i stället för att derivera.
För att lösa en viss klass ordinära
differentialekvationer användes efter Laplace följande
transformation:
W [P) = \e~vr ■E(r).dz = - ] . /V"’. E {r) +
a P a
+ 1 • lé~pi-E’{t), dr
V a
eller, med valet a = 0, ß = 00, under förutsättning
att lim e~pr.E(r) — 0 och tillämpat på (1),
r ->00
V(p)=p.W(p).
Det är tydligt, att (1) är mycket nära besläktad
med transformation enligt Laplace och går i det
00
följande under samma benämning. Emedan \p ■
o
■ e~pr -dr = 1 kan man också skriva (1) som följer:
00 f I
V (p) = \ Ip • E (o) -f E’ (z)j • e~p1 ■ d t = p ■
00
• je~pz-Eir].dz (2)
Vi få för t > 0 relationen p ■ E (o) + E’ {t) = p ■ E (t)
dvs.
~E(t)=p.[E(t)-E(oj] (3)
eller med beteckning i fig. 3 &’ (t) = p ■ & (t)
— P (eos Cl> t 1)
Man kan nu antingen taga Laplace-transforinatio
nen som grundval eller också starta från — p
d t
(Heaviside, Pleijel).3 Men i detta senare fall kan
man ingalunda reservationslöst identifiera f och p.
d t
I följande exempel vållas t. e. komplikationer av att
täljarens gradtal är större än nämnarens (rationella
funktioner).
cl
Ex. 4. - , eos &>< = !>• , -1= l — )) \ —
d t 1 w2 + ])’ co2 + ji2
cop
oj ■ ■ 1 = ■
CO2 +J)2
co • sin co t
dock först efter partialbråksuppdelning och med p ■ 1 = 0.
van der Pol drar nu i härnad mot operatormetoden
(utan att antyda dess utveckling genom Pleijel) och
anför då som skäl först och främst att det inte är
någon fast grund att utgångsdefiniera ^ = p. Det
kan ej förnekas, att detta har sin riktighet, så
tillvida som man i sådant fall måste vara försiktig och
lätt på hand (jfr ex. 3, 4). Mest i ögonen fallande
är emellertid motviljan mot "biandfunktioner" av
typen V1 [p) • E„ (t), vilken liksom kommutering av
p-produkter fortfarande torde vara ett tämligen
svår-navigerat farvatten vid behandling av problem, vilkas
lösning man är fullständigt okunnig om. I stället
för namnet operatorkalkyl, som ju är intimt
förbundet med föreställningen att V (p) "opererar" på en
tidsfunktion eller på 1, föreslår van der Pol
övergång till namnet symbolisk kalkyl, antydande att
rötterna äro att finna i den symboliska räkningen
med avbildning på p-planet. Som
avbildningsfunk-tion tas då (utan någon deriverande betydelse hos p)
Laplaces transformation (2), där man om p endast
förutsatt, att det är ett komplext tal med positiv
reell del.
Laplaces transformation är den systematiska vägen
att komma fram, när man söker ^-motsvarigheten till
100
6 juni 1936
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
