Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6. Juni 1936 - Operatorräkning efter olika metoder, av E. T. Glas
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Elektroteknik
en given ^-funktion. Det är ju som bekant möjligt
att hastigt och lustigt visa operatoriskt genom en
formell serieutveckling att t. e.
fl2
eos wt = -1
oj J pl
men härav har man ej tillräcklig ledning i mera
invecklade fall eller ens i enkla fall, när man ej kan
finna någon lämplig serie.
Ex. 5. Sök p-motsvarigheten till E (t) = / :
Vf
Laplaces transformation ger som avbildning (utan
operatorbetydelse hos p)
r(jö)=_p-jP 1 • e Pz ■ dr = 2-\/p-Je "’■ du = \fjtp
o V T o
eller med van der Pols skrivsätt sinn =
■ s/t
I transformationen (2) förutsättes, att reella delen
av p är positiv. Detta villkor är i många fall
väsentligt, för att det överhuvudtaget skall finnas någon
funktion V (p).
Ex. 6. Sök 2>bilden till t
OO OC 00 1
V(p)=p- J T • e~Pz ■ dr = — I T-e P’ + J e~ ■ dr =
0 O fi V
om Re p > O, annars utan mening. Med detta villkor
fås alltså -’.’-i i full överensstämmelse med
operator-P ’
1 1
uttrycket •! = j dt, men som slutsats av (2), ej som
P o
definition.
En generalisering av detta exempel är följande:
t
Ex. 7. Sök p-bilden till jE(t)-dt om V(p) ^E(t)!
o
00 T 00
Av (2) fås p ■ $ $ E (u) ■ du ■ e~PT ■ dr = — / e~Pz ■
0 0 o
T 00 1
• J E (u) ■ du + J E (r) • e~PT ■ dr = ■ V (p) förutsatt att
0 0 P
. t
lim e~pt • J E (u) du — O. Det räcker i de flesta fall
t —00 o
med att Re p > O, för att detta villkor skall gälla, och
1 ’
man har då • V(p) = J E (t) ■ d t.
V ’ o
Huru är det med överensstämmelsen mellan p och
d
om man utgår från transformationen (2)?
Ex. 8. Sök p-bilden till - E (t) i
dt
00 d E (r\ 00
Av (2) fås p • J ■ e~Pr -dT=p-l E(r) ■ e~PT +
o <*T o
00 d F.(f\
+ p*-SE(T).e-PJ.dT ■.■p.V(p)-p.E(o) [ J- för
o dt
alla sådana funktioner E (t), för vilka lim e~pt ■ E (t) = 0.
Endast om E (O) = 0 är alltså p ■ V(p)-^’1 ^ (jfr 3).
Beträffande kommuteringen av två p-funktioner
med operatorbetydelse hos p anger Pleijel,3 att
ordningsföljden kan omkastas, om funktionerna i
oändligheten förlöpa som jpjs (s < 1).
Utgående från (2) kan man uppställa bildmetodens
produktteorem:
t
Ex. 9. Sök p-bilden till j E1 (t — u) • E2 («) • du där
o
integranden är avledd av två ursprungligen givna
t-funktioner Et och sådana att Vi (p) ’ E± (t) och
Vo (p) ; (t)!
Av (2) fås p ■ JJE, (r — u) ■ Et [u) ■ du ■ e~Pz• dr =
0 0
00 t 00
— / e~PT ■ J E, (T — u)- E, («) • du + je~PI-[E1(0) • Et(r) +
[ ^ /,’ |y__oo
+ \ ■ Et («) • du] ■ dr = E\ (0) • j7?2 (t) ■ e~ pr- dx+
a t „
+ %’PZ. U) ■ E, (u) • du ■ dr = E, (0) • j- • V, (p)+
o
T 00 r \ 1
+ j e~P"- Et (u) ■ J e - P (r~ u) ■ d h\ (r — ») • du = Fn (o)- ■
o z—0 P
T |co 00
• Vt (p) + It-P" ■ Kt (u) • I e~P <z~u) ■ Ei (t—w) + v ■ I El (r-u) ■
o L_7=o o
■ e rlz-"l ■ d r 1 • du = Et (o) . J . F2 (p) + /E2 (u) • e~ Pu ■
J 1’ o
■ Fi (2,) ^ F2 (p) . [£’, (o) + Fi (p)]
dock endast under en hel del förutsättningar, nämligen:
likformig konvergens hos integralen, så att man utan
vidare kan kasta om integrationsordningen,
försvinnande värden, då t går mot oändligheten, av
—ft t — p (t—u)
e • JÄ’i (t — Jt) • (u) ■ du och e ■ Ej (t — u) samt
o
Et (t — u) = Et (it) = O för I < u (man har alltid t och a
positiva samt t > u)
Då dessa förutsättningar äro uppfyllda, gäller alltså,
att
’ ■ [E"i (o) + \\(p)] ■ Yt (p) -: J Ei (t—u) ■ Et (u) ■ du.
P o
Man kan också med analoga förutsättningar skriva
1 • [Et (o) + Vt (p)] ■ Vi (p) -y ]Ei (u) ■ Et (t-u) ■ du.
P o
Den komplikation, som förorsakas av
tidsfunktionernas initialvärden, belyses av följande exempel:
Ex. 10. Utgå från Et (t) = t \ ] t Ei(0) = 0
P
E2(t) = e< 1 , ’ (< Et (O) = 1
n — 1 ’
Av föregående exempel härledes nu
1 1
P P P
P
- = J (t — u) ■ tu ■ du = e’— t ■
1 o
U+ P V 1 - ]t.e1.....".du= el— t
\ P 1 IP’ o
-1 +
Man kommer alltså till en helt annan funktion, om
man låter E1 och E„ byta plats i integranden. Endast
om E± (O) = E.2 (O) = O, går detta för sig, så att man
kan sätta
1 -Vi(P)-V2(p) ; jE^t—u]-E^u].du^
P 0
t
— J E-i (u) • E2(t — u) ■ du
o
vilken formel utan nämnda restriktion angives
av van der Pol.1 p har ju ingen operatorbetydelse
här, så att ^-faktorerna saklöst kunna permuteras.
1 ex. 10 är detta ej längre möjligt, så fort p uppfattas
som operator. Men vi se, att bildmetodens
produktteorem också kompliceras, nämligen genom
funktionssprånget för t — 0.
Motsvarigheten till den bekanta
"förskjutnings-satsen"’ vid operering på p-funktionerF(io)-ea<.2?(t)=
= eat ■ V (p + a) • E (t) fås av
fi juni 1936
101
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
