Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
fallet = 0. Vi kunna då naturligtvis uppskriva den
triviala ekvationen
2 O • s=0
där 2 utsträckes över alla systemets punkter och s
är en tänkt förskjutning av resp. punkter.
Ekvationen är ju tämligen innehållslös, men om vi tänka oss
att varje punkt angripes av två eller flera ändliga
krafter, vilkas resultant visserligen är noll, blir
innebörden en annan. Det är att märka, att dessa ändliga
krafter ju kunna ha en fullt reell betydelse, ehuru
deras resultant är noll. Detta gäller exempelvis
spänningarna, som verka på ett element av en fast kropp,
vilka ju ha en mycket påtaglig betydelse, ehuru deras
resultant på varje element är noll.
Vi kunna då i stället för att utsträcka summan över
alla kroppens punkter i stället utsträcka den över alla
systemets faktiska krafter och låta s betyda resp.
förskjutningar av de olika krafternas angreppspunkter.
Ekvationen får då i stället formen
2 F-s = 0
vilken ekv. verkligen har en reell innebörd.
Emellertid är detta sätt att se virtuella
förskjutningarnas princip i allmänhet mindre lämpligt inom
hållfasthetsläran. Ovanstående ekv. är nämligen
härledd endast under förutsättning att krafterna
betraktas som fullt konstanta. Nu äro de inre elastiska
krafterna i en fast kropp icke konstanta vid en liten
virtuell förskjutning, och det är därför icke a priori
möjligt att vid användning av virtuella förskjutningarnas
princip, förklarad såsom ovan skett, beräkna de
elastiska krafternas arbete som ändringen i den faktiska
magasinerade elastiska energien. Det är därför
lämpligare att se hela frågan om de virtuella
förskjutningarnas princip i hållf^sthetsläran från en något annan
synpunkt.
Jag tänker mig ett godtyckligt punktsystem
sammanhållet av inre och dessutom påverkat av yttre
krafter. Det gäller att undersöka om jämvikt
förefinnes. Jag tänker mig då en godtycklig, ehuru med
de geometriska villkoren förenlig oändligt liten
formförändring. Kroppen måste exempelvis
alltjämt vila på sina stöd, vilka, om de i verkligheten ej
äro fjädrande, måste betraktas som fasta. Blir
artetet av systemets samtliga yttre och inre krafter
härvid < 0, kan rörelsen i verkligheten ej komma till
stånd, emedan den i så fall uppkommande
rörelseenergien för sin alstring skulle erfordra ett positivt arbete.
Är emellertid arbetet < 0 i en riktning, är den > 0 i
den rakt motsatta. Då arbetet alltså ej kan vara < 0
i en riktning utan att samtidigt vara > 0 i den
motsatta. måste det nödvändiga och tillräckliga villkoret
vara att arbetet är = 0 för varje liten kinematiskt
möjlig förskjutning.
De yttre krafternas arbete är 2 F • ds, de inre
krafternas arbete är lika med minskningen i
magasinerat elastiskt arbete eller = — <5 A. Vi få alltså
ekvationen
2 F -ds— S A — 0 ............... (4)1
För A kunna vi använda något av uttrycken i
i Med F ■ ds liksom tidigare F ■ s menas självfallet den
skalära produkten av vektorerna F och ds resp. av F och s.
ekv. (1) till (3). Kan F härledas ur en potential V,
dvs. F — — grad V förändras ekv. (4) till
å (V A) = 0 .................. (5)
Med andra ord, potentialfunktionen (V + A) skall ha
ett minimum. Däremot blir d2 (V -f- A) > 0, dvs. ö A
blir med en storhet av andra ordningen större än
2 F • d s. Av fig. 1 se vi hurusom vid en godtycklig
punkt på kurvan potentialen (V -j- A) ökar vid gång
i en riktning men minskar i den rakt motsatta, dvs.
Fig. 1. Fig. 2.
att krafternas arbete i förra fallet är negativt, i
senare fallet positivt. Endast i minimipunkten blir
(V -{- A) konstant vid små förskjutningar i olika
riktningar, så när som på en av andra ordningen oändligt
liten ökning d2 (V -j- A) motsvarande ett negativt
arbete av de yttre och inre krafterna. Har alltså av en
eller annan orsak kroppen deformerats något från
jämviktsläget, komma de givna krafterna att försöka
återföra den till utgångsläget.
Härav framgår en del viktiga slutsatser. Det är
olämpligt att så som man i många framställningar
gör förklara att full jämvikt hela tiden råder,
därigenom att man tänker sig kroppens elastiska
egenskaper förändrade, så att spänningen ej ändras med
ändringen i formförändringskomposanterna. Vi använda
oss ju av A ur ekv. (1) till (3), och som dessa äro
härledda under förutsättning av Hooks lag, medför
en ändring av formförändringarna med nödvändighet
en motsvarande ändring av spänningarna.
Välja vi variationen så att de yttre krafternas
arbete är noll, ha vi alltså att söka det
formförändrings-resp. spänningstillstånd, som gör A till ett minimum.
Då detta skulle betyda lösandet av ett oftast
komplicerat variationsproblem (A är ju given som en
integral), är det ofta enklare att enligt Ritz uttrycka
formförändringen genom en enkel funktion med en
eller flera godtyckliga konstanter. Integrationen kan
då utföras och A erhållas i explicit form. Det gäller
då blott att söka det värde på de arbiträra
konstanterna, som gör A till ett minimum, varigenom
formförändringarna äro fullt bestämda.
I enklare fall känner jag dock i allmänhet den
algebraiska formen för A och kan då direkt uttrycka
2 F ■ ds resp. A i explicit form i vissa obekanta men
sökta formförändringar, exempelvis de sökta
nedböj-ningarna i vissa punkter. I de fall, då dessa sökta
formförändringar direkt kunna uttryckas som
funktion av vissa obekanta reaktionskrafter, kunna
naturligtvis 2 F • ds och A i stället skrivas som funktioner
av dessa. Man får dock härvid komma ihåg att vid
variationen som inskränkande villkor endast upptaga
de geometriska villkorsekvationerna, som exempelvis
bestämma stödens läge. De statiska
jämviktsekvationerna få däremot ej användas, då vid variationen full
90
21 nov. 1936
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
