Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Mekanik
jämvikt ej råder mellan ursprungliga laster och
reaktioner. Om med hänsyn till de geometriska
villkorsekvationerna ekv. (4) till slut exempelvis får formen
Fi ßi h) à h -f F2 Å2) å Å2 = 0......... (6)
varvid dÅt och SÅ2 äro oberoende och godtyckliga,
gäller tydligen
Å2) = 0 .................. (7)
och F2 (Aj h) = 0 .................. (8)
varigenom och kunna bestämmas.
Av intresse är att nämna något om det fall, att
Hooks lag ej gäller, att jag alltså har en krökt men
alltjämt elastisk spänningskurva, exempelvis enligt
fig. 2. Då den streckade ytan motsvarar den
magasinerade energien, inses att just denna yta måste
motsvaras av A i ekv. (4), dvs.
A = f ode och d A = ode ......... (9)
(A betecknar här arbetet per volymsenhet.)
När det ej gäller att bestämma själva
formförändringarna utan endast de statiskt obestämda
reaktionerna, är det emellertid lämpligare att begagna en
annan metod, och vi övergå nu till denna, vanligen
känd som satsen om formförändringsarbetets
minimum eller Castiglianos sats. Den är till sitt väsen
helt skild från den föregående, ehuru den formella
likheten gör att de ofta förblandas. Vi tänka oss
exempelvis en belastad balk på tre oelastiska stöd.
Jag kan härvid tänka mig att utföra deformationen
så, att ett av stöden skjutes undan ett stycke,
oändligt litet i förhållande till balkens totala nedböjning.
De båda övriga stöden komma därvid att upptaga
ett något ökat tryck, så att de statiska villkoren
alltjämt äro exakt uppfyllda. I detta senare hänseende
skiljer sig denna metod från den förut behandlade.
I varje ögonblick av formförändringen råder exakt
jämvikt. Virtuella förskjutningarnas princip direkt
tillämpad på denna förskjutning leder emellertid ej
till ett praktiskt resultat.
Visserligen måste de totala yttre och inre
krafternas arbete vid förskjutningen vara noll, eftersom
jämvikt hela tiden råder. Men eftersom i
allmänhet såväl lasterna som de förskjutna reaktionerna
lämna bidrag till arbetet, är det icke lätt att direkt
erhålla ett enkelt uttryck på detta arbete. Det är
visserligen sant, att det sammanlagda arbetet av laster
och reaktioner (ehuru endast vid material, som lyda
Hooks lag) visar sig bliva lika med noll, men detta
kan ej bevisas genom en direkt tillämpning av
virtuella förskjutningarnas princip på ett system,
bestående av de verkliga spänningarna och krafterna. På
en något annan väg kunna vi det oaktat komma till
en lösning.
Vi tänka oss det ursprungliga kraftsystemet
ox oy a, osv. Då full jämvikt råder, gäller ekv.
3 ax c T„x 3 r,,. _ Q
dx ’ 3 y ’ 3 z
och liknande ekv. för de båda övriga
koordinatrikt-ningarna. Få dessa spänningar genom den lilla
förskjutningen av ett eller flera stöd tillskott <5 ax d ay
osv., så måste för dessa gälla
= 0
tydligen helt oförändrad, men fördelningen av
reaktionerna är något förändrad, och A X, A Y, A Z
motsvaras alltså av de små ändringarna i
reaktionskrafterna. Vi ha alltså ett i full jämvikt varande
kraftsystem åax, ÖOy, daz, ÖTyx, örzy, årxz, AX, AY, Al.
Om vi betrakta spänningar och krafter d ax d ay
till AX AY AZ som konstanta kan, eftersom
systemet är i jämvikt, på grund av virtuella
förskjutningarnas princip arbetsekvationen uppskrivas för
godtyckliga tänkta förskjutningar. Vi välja till
förskjutningar de verkliga formförändringarna f, r], £
9£ 3 yi
före variationen (varvid ex = . s„ = ~ osv.). Då
dx y dy
stöden lämnas orörda, blir arbetet av A X, A Y, AZ
lika med noll och arbetsekvationen reduceras till
f dv{exdox-\- e,J^0yJrez^0z-\-yxy^Txy-{-
J^ YVt à xyz + ylx årzx) = 0 ......... (II)1
Om vi för enkelhetens skull inskränka oss till ett
en-axligt spänningstillstånd, kunna vi skriva
f eda ■ dv = 0.................. (12)
Då A=(dvJ„a2 ..................... (13)
2 E
och
ÖA
j dVyOÖO
= \dv•ed o
kan även skrivas 6A = 0 ..................... (14)2
Vi ha på så sätt kommit fram till satsen om
formförändringsarbetets minimum vid exakt uppfyllande
av de statiska jämviktsvillkoren. Den liknar till
formen den direkt ur virtuella förskjutningarnas
princip härledda ekv. (4) vid sådan variation att
2 F ■ ds — 0, ehuru den i grunden är av helt annat
ursprung.
Emellertid är det tydligt att variationen enl. ekv.
(14) är fysikaliskt fullt möjlig och i full
överensstämmelse med det normala elastiska tillståndet hos
kroppen. När man i många läroböcker (exempelvis
Dräng und Zwang) förklarar, att denna variation ej
1 Att arbetsekvationen får denna enkla form framgår
tydligt, om vi till en början beräkna det arbete, som
spänningarna ö ax, ö r,JX, ö tzx uträtta inom
volymscle-mentet dv = dx ■ dy ■ dz genom förskjutningen g. Detta
arbete är tydligen:
dy ■ dz [- | -àax + (§ -f Ex-dx) (ö ox + ° ~ -dx)] +
ÖTV
+ dx - dj/[- i-àrzx + ^ + || ■ dz^ÖTzx
+ T?"»)]-
: dx
dy-dz |e,
x • o Ox + §
3 ÖOx 36 XyX dö T,
+
ày
- +
+ ™ ÖTyX +
dy " dz
r
dv I ex ■ öax + „ • ö;
• ÖTZX J =
- br 1
yx "T" u l2XJ
(10)
3(5 Ox dÖTyx ^ 3 dxz
dx ’ dy ’ 3 z
Det kraftsystem, som åstadkommer detta
spänningstillstånd kalla vi AX, AY, A Z. Lasten är
dy " d z
om hänsyn tages till ekv. (10).
Genom cyklisk permutation erhålles motsvarande
uttryck för arbetet genom förskjutningarna r] och £ samt
slutligen efter summation av de tre uttrycken och
integration över hela kroppen ekv. (11).
2 Vill man försäkra sig om att ekv. (14) ej blott har
giltighet för enaxligt spänningstillstånd, är det nog att verifiera,
att variationen (differentialen med avseende på
spänningarna) av A enligt ekv. (2) = vänstra membrum i ekv. (11).
15 aug. 1936
91
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
