Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TekniskTidskrift
i verkligheten är möjlig att genomföra utan ett
upphävande av det materiella sammanhanget inom
kroppen, är detta ej riktigt. Förskjutningen av stödet i
ovan angivna exempel är ju fullt möjlig att
genomföra. Det är-endast när jag tänker mig en del av
en kropp genom snitt avskuren från hela kroppen och
spänningarna i snittytan betraktade som yttre
krafter, vilka genom variationen just skola bestämmas,
som sammanhanget i kroppen måste tänkas upphävt
i själva snittytan vid deformationen.
Ekv. (14) användes på känt sätt tillsammans med
de statiska jämvikts villkoren för bestämning av de
obestämda reaktionskrafterna. Här gäller alltså ej
längre såsom vid tillämpning av virtuella
förskjutningarnas princip i ekv. (4) att jämviktsvillkoren
måste åsidosättas vid variationen, tvärtom är det
nödvändigt att taga hänsyn till dem.
Även en annan slutsats kan dragas. Gäller ej
Hooks lag, utan sammanhänger spänningar och
formförändringar enligt fig. 2, får A per cm3 ej räknas
som f o ’ d e utan som J~e" d o, alltså å A —e • d o.
Detta framgår av härledningen, där A i motsats till
A i ekv. (4) ej direkt är det magasinerade arbetet
utan en funktion, vars differential med avseende på
o är e ■ d a- A eller f e • d o motsvarar i fig. 2 ytan
mellan kurvan och ordinataxeln. Generellt är alltså
A i ekv. (14) det arbete, som genom vibrationer
bortgår i värme, om de yttre krafterna plötsligt ansättas
till sin fulla styrka. Endast om materialet lyder
Hooks lag, är detta arbete numeriskt lika med det i
materialet uppmagasinerade arbetet.
Det skulle vara av intresse att med några enkla
exempel närmare klargöra innebörden i den
föregående framställningen. För att ej bliva alltför
vidlyftig, avstår jag dock härifrån. Däremot skall jag
ånge de modifikationer av formlerna (4) resp. (14),
som kunna vara lämpliga vid behandling av vissa
principiellt enklare fall, då enaxligt
spänningstill-stånd kan anses råda, exempelvis böjning av balkar
eller ock system med ren dragning och tryck, såsom
fackvenkskonstruk tioner.
Vi förutsätta en balk, eventuellt ett system av
stänger, utsatta för böjning samt dragning eller
tryck; stängerna förutsättas så långa i förhållande
till sektionen, att skjuvspänningarnas inverkan kan
försummas.
Det i systemet magasinerade
formförändringsarbetet är då
1
Tillämpas ekv. (4) erhålles
i r
SF-ds—ö
2 E.
■ dv = 0
eller
2 F ■ ds =
E.
a do- dv.
Detta gäller om d s och <5 o äro oändligt små. Om
däremot spänningarna a svara mot ett kraftsystem
Fl (motsvarande spänningar kalla vi därför ej längre
o utan oj och vidare d s = A s och S o = A o =
= a — oi: dvs. båda ändliga och orsakade genom ett
ändligt kraftsystem F, gäller tydligen
2F1A s + * SF A s = ~ C(a’-a\)dv
= 2 EV"
«i)(Ø — Oj]dv
^2 Ej {2 °L + A°)Ao-dv
= y | olA<y -dv
2 B
A o dv.
Förefinnas inga inre egenspänningar är emellertid
2
\lFAs=^-]Aodv
alltså är
A o ■ dv.
2F1-As = Åjo,
Vid böjning och töjning är emellertid
alltså
IFl As =
øi =
Ao =
+ e?
dl f/N1
äjr
— fi
Nl L *
a
N i *
a 0
Mi
M
a
0
A/i
N
f -øMjda
2 F1 As =
.........<15>
Vid ren böjning förenklas formeln ytterligare till
2 F1 A s =
’MM1
ËØ
dl
(16)
Om kraftsystemet F1 motsvaras av en kraft 1 kg
i den punkt, där jag önskar beräkna en nedböjning
f, och motsvarande reaktioner i de ofjädrade
upplags-punkterna, erhålles alltså
CM My
f
-J
EØ
dl
(17)
där integralen skall utsträckas över hela stången
resp. stångsystemet.
M är momentet av de i verkligheten förefintliga
krafterna och Mx momentet av det tänkta
kraftsystemet 1 kg i den punkt, där nedböjningen sökes och
motsvarande reaktionskrafter.
Gäller det att exempelvis beräkna nedböjningen i
en punkt av en axel med flera olika sektioner, är
denna formel mycket användbar. Jag skaffar mig då
uttryck för momenten som funktion av x och
uträknar integralen för varje del av axeln med konstant
sektion, dvs. konstant 0 samt summerar resultaten.
Förefinnes i stället endast dragning och tryck,
förenklas ekv. (15) till
rNx N
2 Fy As =
Ea
dl.
Emedan N och N1 här äro konstanta över varje
stång förändras integralen till en summa över
systemets alla stänger. Om kraften Fv som förutsättes
till 1 kg, och † betecknar den sökta nedböjningen i
samma punkt i kraftens riktning av det i verkligheten
förefintliga kraftsystemet blir alltså
E a
(18)
Gäller det däremot att i ett fackverk bestämma
statiskt obestämda reaktioner, har jag ej att utgå
från ekv. (4) utan från ekv. (14) eller hellre direkt
92
21 nov. 1936
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
