Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Mekanik
4. Beräkning av konstanten A.
Den lösning till problemet, som vi funnit och
formulerat ena gången genom ekvationerna (8) och (6),
andra gången genom (9), bör uppfylla det ännu åter:
stående villkoret (4). Detta innebär att vid rörens
yta skall temperaturen ha ett uppgivet värde
T (x, y) — T„. Då funktionen T (x, y] är periodisk,
förhåller den sig på samma sätt invid alla rören. Det
är då tillräckligt att ordna så, att villkoret blir
uppfyllt för ett rör, vilket som helst. Automatiskt blir
villkoret då uppfyllt för alla rören. Vi välja då det
rör, där n — 0. Om rörens radie är e, så måste enligt
(4) T (x, y] taga värdet T0 då x2 + y- = e2-
För x = y — 0 är den serie divergent, som
förekommer i (7). För de små värden, som x och y
antaga på rörväggen, är denna serie då så långsamt,
konvergent, att det är nödvändigt att i stället
använda serieutvecklingen (6).
I omgivningen av origo är det blott en term i (6), som
är starkt variabel, nämligen —1/2 A elog (x- + y2].
Denna term fordrar särskild hänsyn. Övriga termer
äro regulära och variera ej starkt i närheten av
origo. Vi skola ha deras värde på den lilla cirkeln
x2 -‡- V2 = s2, men vi skola approximera och sätta
deras värde för x — y = 0 i stället.1
Om icke alldeles särskilt noggranna resultat äro
behövliga, torde denna approximation räcka till.
Det skulle nog ej vara svårt att förbättra denna
approximation, men det torde ej behövas för
närvarande. Vi sätta alltså i de övriga termerna
x = y = 0 och erhålla ur villkoret (4)
ri212 -f- b2
! = 1
CO
77 v-1 r 2jzsb
s = l
Man får
T0 , I
o =elog
A z ti e
G.
I
9i (s) + 9i(s)
s = 1
00
= n[1—
2 2
n1J
71=–1
sätter ø = — iæ/2 och sedan tar logaritmen för båda sidor.
För värmeavgivningen finner man lätt ett
användbart uttryck.
5. Plattan bestar av flera parallella skikt.
Skikten må betecknas med C, B, A och D (jfr fig.
3) och deras värmeledningsförmåga med Xv ),2, och
Ku (i samma ordning taget).
Vid en gränsyta mellan två skikt måste
temperaturen och den genom ytan genomflutna
värmemängden ha samma värde på båda sidor om ytan, dvs.
Fig. 3.
T (x, y) måste ha samma gränsvärde på båda sidor
om ytan och likaså X 3 T (x, y]/d y.
I följande ansats äro Gv G2, G.i2, G22, Gm, g^[s]
g32 (s], osv. koefficienter, som skola bestämmas ur
gränsvillkoren:
I skiktet C:
lT[x,y) K,
, - = —(<’i 4- ’■]y — 32 +
71 A k3
’ 9\ + 92
S = 1
Ekvationen kan förenklas med hjälp av formeln2
00
2*log [l +• =elog(l-e-x)-noga;+ | =
n — 1
co
= _n0ga; + |— ^...... (10)
s = 1
I skiktet B:
IT (x, y)
e " i’ + £32(s)e ’
’ 1 2 tisx
Jcos —- .
K
2jzs
i (Gt + 1 ]y-G22 +
s = 1
I skiktet A [jfr ekv. (9)]:
_ 2x_sy-1 2 nSX
i +9 n{s)e 1 eos
IT (x,y)
-G1y — \y
2jcsy
+ Pl (s) e ~ +
G2 +
71 S S t
l
1 r 2izsw<
e 1 -|-
s = 1
2 jzsx
g2(s)e 1 J eos—- .
- (11)
Genom denna ekvation är värdet av A bestämt.
Det förenklade problemet är nu fullständigt löst från
den matematiska sidan.
1 Denna approximation kan motiveras. Alla de nämnda
termerna äro lösningar till differentialekvationen (1) och äro
regulära inom, på och utanför cirkeln æ2 + yl — gä. Man kan
då lätt visa, att värdet 1 origo av var term är exakt lika
med termens medelvärde över cirkelns periferi. Detta
medelvärde skulle i annat fall ha varit att föredraga.
2 Ekvation (10) erhåller man, om man i den bekanta
utvecklingen av sin s i en oändlig produkt
I skiktet D:
lT(x,y)
71 A
00
= -~(Gi — I)y-Gm +
’•ir
+
71 X S L
-\g\\i{s)e- i + gui[s]e i
2nsx
eos—-—.
s = 1
För den övre gränsytan, y — hs, gäller
och för den undre gränsytan, y = — hu,
a3 oeh au äro koefficienter för ytans värmeutbyte
eller utstrålning mot omgivningen.
20 mars 1937
27
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
