Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Elektroteknik
ea<L = (Z««o?) • (<« o) + (X • (<» ß) + (*«<££) • (V£) (a)
=(Z,.&?9.(<^)+(ZMW).(f46) + (X4e6c).(<ec) (b) (2)
ecc = (X:aca). (iaa) + (Xcicb). (ibb)(Zcccc). (iccj (c)J
Låt vidare ett gemensamt tecken eller en
gemensam "vektor" e representera alla spänningarna i alla
ledarna. Ekvationen
e = eaa + e4& + ecc
innebär icke nödvändigt att de tre ledarna äro
seriekopplade och att därför de tre separata spänningarna
skola adderas, utan helt enkelt att med e förstås en
sorts kollektiv-vektor, som innefattar alla
spänningsvektorerna i alla ledarna. Huruvida dessa
komponenter skola adderas eller ej, blir en senare fråga.
(Addering kan aldrig tänkas utförd annat än av
"tids-komponenter". "Rumskomponenternas" resultant har
ingen mening rent fysikaliskt sett.)
Skalära produkten eller den inre produkten.1
Om man skriver två vektorer a och b med en
punkt emellan dem, förstår man därmed ett talvärde,
icke en vektor, som definieras av ekvationen
a-b — ah eos cp
där <p är vinkeln mellan vektorerna. Som ett
exempel på en skalärprodukt må nämnas effekten p, som
erhålles genom att multiplicera spänningen e med
strömmen i,
p-e-i — ei eos cp
Eftersom i det följande skalära produkten av flera
kombinationer av enhetsvektorer kommer i fråga,
torde det vara klokt att lägga på minnet följande två
ekvationer:
a • a = o2 eos 0 = a2 — 1
a-b — ab eos90 = 0
Observera att endast de två enhetsvektorerna, som
äro närmast punkten, multipliceras med varandra.
Exempel: (Xabab).(iaa) = Xabiaab- a = 0; eftersom
b_ ■ a = 0.
De tre ekvationerna i ekvationssystemet (2) kunna
sammanföras i en sorts gemensam ekvation:
£= eaa +ebb + ecc =
Zaaoa -f Xabab + Xacac +
= Xbaba Zbhbb + Xbcbc + . (iaa + ibb_ + icc) (3)
| Xcaca -f Xcbcb + Zcccc
Att likheten (3) är identisk med (2), inses lätt, om
alla de 27 möjliga produkterna bildas. Av dessa äro
nämligen 18 lika med noll enligt definitionen. För
att förtydliga detta påstående, låt oss multiplicera
första raden av Z i ekvation (3) med iaa:
Zaaaa-iaa = Zaaiaa eftersom a . a = 1
Xabab-iaa — Xabiaob-a — 0 eftersom b . a_ = 0
Xacac-iaa = 0 eftersom c . a = 0
Om i ekvationen (3) kombinationen av alla
impe-danser och reaktanser betecknas med Z, kan
ekvationen skrivas på följande enkla sätt:
e = Z-i (4)
1 På, engelska "dot product" — punktprodukt.
För att bespara onödigt repeterande av
enhetsvek-torerna kan man skriva impedansen i en tabellform,
en s. k. matris
abc
a Xab Xac
Z — b Xba Xbc
c Xcb 2CC
(5)
Det dyadlska beteckningssättet.
Som ovan visats, är det nödvändigt att efter
talvärdet Zaa skriva två enhetsvektorer aa bredvid
varandra, men utan "punkt" emellan dem. I
vektoranalysen kallas en sådan kombination av två vektorer
en "dyad". Ett polynom, som består av summan av
många dyader, kallas en "dyadik". Om därför Av
A2, A3,........ An och Bv ß.,, Bs........ Bn äro
vektorer, kan därav dyadiken $ skrivas:
<t> z- AxB,– AJl, -\ AJL !-.....+JnBn (6)
Låt oss nu visa att matrisen Z i likheten (5) är en
dyadik.
Ekvation (6) kan skrivas i en form som består av
nio termer. Varje vektor kan skrivas som summan
av tre komponenter, av vilka var och en består av ett
talvärde och en enhetsvektor.
Dyadiken består då av följande vektorer:
4l = öll£+ «13 £
A2 = «2l£+ ö22& + ß23c.
An = «nl£+ an2b+ ««3£
lh = àna + fc12ö + bnc
ß2 = bna + b22b + b23c
å* = bni±+ bn3b_ -\-bn3c_
Multipliceras nu dessa vektorer parvis erhålles:
A^Bj = anbnaa -|- anb12ab -f- a11b13ic -j-
+ a12bnba -f a12b12bb + a12b13bc -f
+ a13bll£? + «13fe12 CÄ + «13Öi3CC
A2B2 — a2lb2lnn -†- a2Xb22ab -f- ......
AnBn = anlbnlaa -f anlbn2ab + ......
Genom att addera koefficienterna av identiska
dyader erhållas nio dyader:
<Z> = (anbn + a2lb21 +.........anlbnl)aa -f
+ {an &12 + «21^22 +.........o» 1 bn2) ab +
+.........an3 bn3) CC
3
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
