Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
En dyadik $ kan alltså skrivas
abc
a aaa O-ab aac
<p=b Cba abb abc
c aCa acb acc
(6)
varav följer, att matrisen i ekvationen (6) är en
dyadik och därför kan också på samma sätt visas att
Z är en dyadik. I ekvation (6) representerar aaa
följande summa termer:
Z21 ^21 +
«»i bm = I an bn
j = 1
Polyadiker.
Talvärden, som definieras av tre enhetsvektorer
skrivna i omedelbar följd efter talet, kallas triadiker.
Om de skulle skrivas i tabellform, tager denna
utseendet av en kub med många små celler.
I allmänhet talar man, när mera än tre
enhetsvektorer förekomma, om polyadiker. Sådana storheter,
som kunna hava 4, 5 eller flera dimensioner, ha en hel
del betydelse och användning i den högre
matematiken. fastän de ej kunna framställas geometriskt.
Multiplikation av två vektorer.
Effekten p är skalära produkten av vektorerna e
och i
p = e ■ i — ei eos cp (7)
där cp är vinkeln mellan de två vektorerna.
p= e.i = (eaa_ + e„ö + ecc).(iaa+ibb + icc)
= ejaa ■ a + ehibb_- b -f ecicc - c
= eJa + ebib + ecic (8)
Alla de återstående produkterna äro lika med noll.
T. ex.:
eaa ■ ihb_ — ejba^- b — 0 eftersom a ■ b — 0
Att ekvation (8) är identisk med (7) kan lätt visas
på följande sätt.
Från rymdgeometrien veta vi, att
eos <p — eos aa eos ßa + eos ab eos ßb + eos ac eos ßc (9)
där eos a och eos ß äro respektive riktningscosiner
för vektorerna e och i
Sålunda är:
ea = e eos aa ia — i eos ßa
eb — e eos ab ib = i eos ßb
ec = e eos ac ic = i eos ßc
och slutligen blir om produkterna i (8) bildas,
p = e • i =
ei (eos aa eos ßa + eos ab eos ßb + eos ac eos ßc)
men enligt (9) är parentesen identisk med eos cp och
därför är
p = e • i = ei eos cp
V. S. B.
En regel för multiplicering av två vektorer kan
baseras på ekvation (8).
Regel:
Skalära produkten av två vektorer är det talvärde
som erhålles, om motsvarande komponenters
talvärden multipliceras parvis, och dessa produkter adderas.
Multiplikation av två matriser.
För att man skall kunna utveckla skalära
produkten av två dyadiker i matrisform, måste först skalära
produkten av två dyader definieras. Om dyaderna
A1B1 och A0B2 multipliceras, skrives
^(ÄBJ " (AB,) = Bx ■ A2(A±B2)
Enligt denna definition inses att resultatet är en dyad
AXB., föregången av talvärdet Br • Ar
Utföres enligt denna definition skalära produkten
av två dyadiker
abc abc
<pr<&.2= b
Aaa Aab ^ac a Baa Bab Bac
Aba Abb Abc ■ b Bba Bbb Bbc
^ca Acb Acc c Bca Bcb Bcc
erhålles en massa termer, av vilka dock de flesta äro
noll och många av de återstående kunna
sammanföras under gemensamma dyader. Varje sådan term
är en dyad och därför är produkten av två dyader en
ny dyadik.
Låt oss multiplicera första raden av med första
kolonnen av <P2
Aaaoa . Baaoa = AaaBaaa . aaa = A„aBaclaa
Aaöab ■ Bbaba = AabBbaaa
Aacac . Bcaca = AacBcaoa
Alla de återstående produkterna mellan nämnda rad
och kolonn äro lika med noll.
Resultatet av att multiplicera första dyadikens rad
med andra dyadikens första kolonn är därför summan
av tre dyader, som alla tre bestå av de två
enhetsvektorerna aa, och därför måste i den nya dyadiken
summan av dessa tre dyader placeras i översta rutan
till vänster.
I allmänhet skall man därför, för att erhålla termen
Crs i den nya dyadiken, parvis multiplicera talen
i den första dyadikens r-rad med talen i den andra
dyadikens s-kolonn och addera alla dessa produkter.
Som ett belysande exempel skall här en sådan
skalär produkt av två matriser utföras.
a 2 3 5 a 7 4 3 a 36 45 60
b 3 4 3 ■ b 4 9 8 = b 43 54 59
c 6 8 5 c 2 2 6 c 84 106 112
Talvärdet i den nya matrisens första ruta är
2X7 + 3X4 + 5X2= 14 + 12 +10 = 36
För att utröna värdet av talet i raden c och
kolonnen b av den nya matrisen multipliceras på liknande
sätt parvis talvärdena av första dyadikens rad c med
talvärdena av andra dyadikens kolonn b
6X4 + 8X9 + 5X2 = 24+ 72+ 10 = 106
4
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
