Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
Effekten som tv&talsstorhet.
Yid beräkning av elektriska effekter är det i många
fall lämpligt och nödvändigt att utgå från spänning
och ström, betraktade som tvåtalsstorheter. Man
skriver då enligt Eulers formel och med beteckningar
enligt den symboliska metoden1
U = ua ei<»’ + *»> =Ma [eos (co* + 9>i)-f
-j-jsin + g?!)j
i = ia ei + = ia [eos cat + <p2) +
-j- jsin(a>t -f- (p2)J
Med denna utgångspunkt kan man beräkna effekter
genom på visst sätt utförda multiplikationer av u
och i och erhåller då effekter som tvåtalsstorheter.
Det må redan här påpekas, att det är ologiskt och
stridande mot det matematiska betraktelsesättet att
uppfatta effekten som en matematisk vektor, dvs. en
storhet med absolut storlek och riktning i rummet
eller planet. De fysikaliska lagar, som gälla för den
elektriska effekten, äro nämligen ej sådana, att de
tillåta tillämpning av det matematiska
vektorbegreppet på effekten. En närmare behandling av
tillväga-gångsättet vid beräkning av effekt med utgångspunkt
från tvåtalsstorheterna spänning och ström är därför
av intresse.
Först må dock erinras om några räknelagar ur
vektoranalysen för ett plant system. Vi skriva tvenne
>
vektorer A och B med hjälp av enhetsvektorerna
»
X och y
A — Ax x + Ay y
> >
B—Bx x-\-Byy
Enligt definitioner i vektoranalysen är
Skalära produkten A • B eller (A B)
(.A B) = Ax Bx -f- Ay By (skalär storhet)
Vektor produkten A X B eller [A B
[A B\ = (Ax By — Ay Bx) z (vektor storhet),
där enhets vektorn z är J_ x _y-planet.
Vi skola nu lämna vektoranalysen och övergå till
att betrakta A och B som tvåtalsstorheter. För att
markera att dessa tvåtalsstorheter icke äro
matematiska vektorer utelämna
vi pilarna (■>). Inom
elektrotekniken användas mycket ofta ehuru oegentligt
vektorbenämningar och -beteckningar, då man avser
tvåtalsstorheter, t. e. spänning och ström. Vi skriva
enligt Eulers formel och den symboliska metoden
A — A e’a = Ax-j- j Ay= A (eos a + j sin a)
B = B eiß = Bx j By = B (eos ß + j sin ß)
Utav dessa två storheter kan man nu bilda tvenne
produkter, vilka hava stor betydelse inom
elektrotekniken.
Vi skriva den till B konjugerade storheten
B — B e~’ß—Bx — ]By— B (eos ß — ] sin ß)
och bilda först konjugatprodukten.
i ögonblicksvärdet av spänningen blir med detta skrivsätt
u = ua Im^ei ^cot + 9"i)^>= ua sinCaji+yi). Vanligare är dock
u — ua Re j (co t + <pi)j = u eos (to t + <jdi).
A B=AX Bx+Ay By-j (Ax By—Ay Bx)=A B e’ (a~«=
= A B [eos (a — ß) + i sin (,a — ß)]
På samma sätt får man
A B=AxBx+AyBy+j(AxBy—AyBx)=ABe-i{-a-ß)=
= AB [eos (a — ß) — j sin (a — /?)]
Om vi antaga, att A representerar en kraft och B en
väg, blir konjugatprodukten en tvåtalsstorhet, vars
reella komposant representerar arbetet och vars
imaginära komposant representerar momentets
absolutvärde.
ÄB = AxBx + AyBy + i(AxBv-AyBx)
arbete moment
Härvid skulle Ax Bx -f- Ay By motsvara den skalära
produkten och AxBy — AyBx den vektoriella
produktens absolutvärde, om A och B vore
matematiska vektorer. Då A och B äro tvåtalsstorheter,
erhålles emellertid ej någon riktning vinkelrät mot
A ß-planet, varför analogien ej är fullständig.
En annan produkt är
AB=AxBx-AvBy + i(AxBy-\-AyBx)=ABe"a+ß)=
= AB [eos (a + ß) + j sin (« + /?)].
Vi observera, att konjugatprodukten A B och
produkten A B äro tvåtalsstorheter med samma absoluta
värde
AB = AB – AB — AB
men olika fasvinkel
a — ß + a + ß.
Vi skola nu övergå till att beräkna effekten av en
sinusformad spänning och en sinusformad ström med
samma vinkelfrekvens at
U=U encot + cpi)
/= iei^t + V2) och j-=Ie~ncot + V2)
där U och I äro resp. effektiwärden. För detta
ändamål bilda vi enligt Bqucherot konjugatprodukten
UY=ü IeHvi-v,l)
Med cp = <pi — cp2 blir
Ul —UI [eos cp -f j sin cp |
och således
S = U I — j Ul
P z= S eos cp = Re[l/l}
Q = S sin <p = ~ Im[ul}
Detta sätt att beräkna skenbara, aktiva och reaktiva
effekter måste betraktas som ett matematiskt knep,
vilket icke har någon fysikalisk grund. Utan tvivel
är metoden elegant och av praktisk nytta i många
fall, men den måste användas med förstånd.
I många fall såsom inom lednings- och
fyrpols-teorien är det lämpligt eller nödvändigt att bilda den
direkta produkten av spänning och ström
fj i __ jj l ei (2<a* + 9>1 +vs)
Med yj = 9?t -j- cp2 blir
UI =U I [eos (2 co t 4- v) + i sin (2 co t + v)] =
— VI [eos 2 to t -j- y sin 2 co tJ [eos yj -j- i sin ip\
Om vi jämföra denna produkt med
konjugatprodukten, få vi
;£//j = |{/7j = |{7/|==f7Z=S
ne {u /} = S eos (2®«+v)
1 lm {U /} = S sin (2 mt-\-w)
38
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
