Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TekniskTidskrift
former av matrisräkning osv., å vilka quaternionerna
endast utgöra exempel. Detta har hjälpt mig att å
ena sidan icke övervärdera quaternionernas räckvidd.
Men å andra sidan har jag styrkts i den
uppfattningen, att denna speciellt förenklade form av
hyper-komplexa tal med enastående fullkomliga
gruppegenskaper på ett lätt tillgängligt sätt inför just i de
matematiska begreppsområden, som röra sig vid
fronten av den moderna fysiska forskningen. Då
quaternionerna därför tyckas mig vara särskilt löftesrika
för systematisering av framtida räkneteknik på
hithörande områden inom ingenjörs vetenskapen — så
långt deras räckvidd förmår att spänna — har detta
synts mig tillräckligt motivera framläggandet av
nedanstående inledande reflexioner och matematiska
formuleringar för Teknisk tidskrifts läsare.
Hyperkomplexa tal och hypergeometriska synpunkter.
Dirac karakteriserar i sina första uppsatser (Royal
Society Proceedings 1925—26) framförallt sina
’Vy-ta1" såsom icke varande kommutativa vid
multiplikation (jfr "vektormultiplikation") i motsats till
vanliga "c-tal". Motsvarande förhållande är bekant
från matrismultiplikation.
Vanliga tredimensionella GiBBS-vektorer kunna ha
komplexa komponenter eller "bestämningstal". Eller
man kan konstruera ett nytt sådant hyperkomplext
tal:
a = a!ei + a2e2 — a3e3
(1)
av "enheterna" eller "</-talen" e och "c-talen" eller
"bestämningstalen" a exempelvis med räkneregeln:
er = e22 = e32 = 1 eie2 = ie3 e2e3 = iei
e3ei = ie2 eieK = —eKei (i = v;—1) (2)
och bygga upp en fyrdimensionell kalkyl genom att
kombinera talen (1) med vanliga skalära "c-tal"
under addition osv.
På så sätt kunna otaliga hyperkomplexa system
konstrueras. Men ha vi någon ledtråd för urval
bland dessa?
Först och främst böra ju talen utgöra en
"kontinuerlig grupp". För grundläggandet av därmed
sammanhängande aritmetiska förutsättningar ha vi
att tacka Sophus Lie.
Men exempelvis relativitetsteorien "och
Lorentz-tra.nsformationerna utvisa behovet för fysiken av att
även geometriska — eller kanske rättare
"hypergeometriska" — prövostenar på invarians få göra sig
gällande. Härvid har den tyske geometern Felix
Klein i sitt "Erlanger Programm" 1872 skapat en
fundamental utgångspunkt, från vilken exempelvis
den holländske elektroingenjören J. A. Schouten
vidare byggt upp en strängt logisk sortering av
möjligheterna.1 Liksom vi endast erkänna en fysisk
storhet, om den är invariant emot
Lorentztransforma-tionerna, fordra således geometerna av en
geometrisk storhet, att den skall vara invariant för viss
geometrisk transformationsgrupp.
Fordras ytterligare att de skola vara associativa,
kunna i själva verket alla tänkbara hyperkomplexa
tal systematiseras och klassificeras med matematisk
i J. A. Schouten : "Grundlagen der Affinoranalysis",
Teubner 1914.
skärpa. "Ursprungliga" system ha 4, 9, 16, 25 ... osv.
"enheter". Vissa "kärnsystem" spela särskilt
framträdande roll. Klassificering sker i olika "ordning",
"art", "Stufe", "orientering" osv.
Det kan då visas, att inget annat överkomplext tal
med fyra enheter än quaternionerna innehar
positionen såsom ursprungligt associativt tal av första
ordningen, bildande ett kärnsystem. Med reella
bestämningstal äro quaternionerna dessutom det enda
komplexa system, för vilket alla vanliga skalära
räkneregler gälla utom kommutativiteten [talen (1) utgöra
med skalärer i själva verket "förklädda" komplexa
quaternioner].
Mitt i ingressen omnämnda intresse för
quaternioner såsom första grundsten för systematiserandet av
framtida räkneteknik för ingenjörer inom
hyperkomplexa talområden torde sålunda vara väl motiverat,
och jag kan övergå till att specialisera mig på talen
själva.
yuateriiionalgebra.
I sin vanliga form definierar jag quaternionen
såsom summan av en skalär och en tredimensionell
vektor
0=0 + o = 01i14-02i2 + 03i3 + o (3)
O = o — O (4)
där enhetsvektorerna ij i2 i3 äro ortogonala och
endast skilja sig från vanliga Gibbs-vektorer genom
att deras kvadrat är — 1 (lika som den vanliga
imaginära enhetens) i stället för att vara positiv. (4) är
den "adjungerade" quaternionen. För komplexa
bestämningstal kan dessutom en konjugerad komplex
quaternion (och eventuellt en kontragredient
quater-nion) uppställas, men man kan komma rätt långt utan
detta.
Räkneregeln för multiplikation detaljerar jag
fullständigt som följer:
OXF = OXF-f OF
= OXF — O-F-fof + o-F + O-f
= i1(oF1 + f01 + 02F3-03F2)
+ i2(oF2 + f02 + 03 Fi-OiF,)
+ is (o F3 + f03 + Ox F2 O,; F-t)
.0„F„ —O.F.
(5)
+ of-01F1
begagnande tecknen X och • precis som för vanlig
tredimensionell vektormultiplikation och skalär
multiplikation, så att jag utan vidare kan "översätta till"
och begagna mig av Gibbs resultat och storheter där
så önskas.
"Normen" skriver jag:
N (O) = <V + 022 + 032 + o2 = N (Ö) =
= ÖXO = OXÖ (6)
Med Minkowskls fyrdimensionella radius vektor:
L = r + l = xi1 + yi2-fzi3-|-l
1 = ict (7)
Nabla" svarande differential-
skriver jag den mot
operatorn:
å . . å
= li
ö x
i2
<5y
13
ÖZ
å
dV
d
(51
å
c <51
och den analoga Laplaceoperatorn:
_ , 62 1 &2
U ~~ <5x2 + «5y2+ <5z2
= AXA_AXA
c2<3t2 V-V~V-V
(8)
(9)
64
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
