Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Elektroteknik
Generellt inför jag följande skilda beteckningar för
vektor- och skalärandelarna:
där
A x O = Rot O — Div O
(10)
Rot O
= rotO+Vo — i-Ö, (§J) = Ö (11)
(12)
Div O = V O + - o
c
Komplexa quaternioner kallar jag "biquaternioner".
Multipliceras två "ortogonala" sådana på visst sätt,
erhåller jag en "hexavektor" med 6 parametrar.
Lorentz’s transformation.
Den hypergeometriska synpunkten sätter
förhållandet vid transformationer i första rummet. Härvid
uppmärksammas först och främst den karakteristiska
egenskapen hos en enhetsquaternion /’, att om jag
multiplicerar en vanlig vektor två gånger, en gång
med quaternionen och en gång med den adjungerade,
ändras vektorn ej till storlek utan endast till läge
(styv rotation). Denna viktiga procedur skall jag
här ge specialnamnet "quaternation", och
specialtecknet *. Enhetsquaternionen skriver jag
r = 71 il -f/g i2 + 7 313 + 71 = 7 + 7i =
= cosØ-f i0sinØ = e’®0 (13)
|r| = \f X r = R, = + 7* = 1 (14)
|/! = ry = \Zyi2 + 72* + 7a2 (15)
eos 0 = ii,
sin 0 =
-J-Rv
(16)
r = cosØ — i0sinØ, i2@ = — 1 (17)
i analogi med vanliga komplexa tal. (I detta
sammanhang bör kanske nämnas, att en reciprok
quater-nion är den adjungerade dividerad med normen.)
Och quaternationen utför jag här på en fullständig
quaternion:
o’ = r*o = rxoxT = r* o + o (i8)
angivande att skalären är invariant häremot.
Yektor-transformationens matris anger jag i tabellform
0! o2 03
0/ 7u 712 713
0,’ 721 722 723
03’ 7 31 732 733
711 = 7 i2 + 7i2 —1/22 — 732
712 = 2 (n 72 — 73 7i)
7n = 2 (71 72 + 73 7i)
(19)
och antyder samtidigt, att elementens beräkning ur
quaternionens bestämningstal — liksom även
orto-gonalitets- och normeringsvillkoren — är nästan
identisk med från dylika transformationer kända
ekvationer. Fasthåller jag vektorns läge men roterar
koordinatsystemet (kontragredient) erhålles alldeles
motsvarande tabell.
För elastiska spänningstensorer begagnar jag
denna procedur för transformation till huvudaxlarna.
Jag inför en sorts bilinearform med riktade storheter,
som jag kallar "axion". Den kombinerar ovan
beskrivna "rotationsquaternion" med en annan
quaternion, som anger huvudaxlarnas längder. Den leder
direkt till en prototyp för integralekvationer.
Sedan quaternationen sålunda specialicerats till
att representera den del av rotationen, som angåi
den tredimensionella rymden, tillfogar jag en särskild
enhetsquaternion
= eos 0’+ i@ sin 0’, &’ — 0 = A© (19)
mod specialuppgift att transformera även
skalärandelen o. Då den har samma rotationsaxel i0 kan
jag skriva hela transformationen som följer
o"=ø’xoxf=Ar*o_Boxr=
= AO’— boxT.
Med värdena
sin 0’ _ 1
sin 0 — y/r_ ß2
sin A <9 _i ß
/l-
A = ■
B =
ß
q
c
(20)
(21)
sin 0 _ß2
erhåller jag Lorentz’ transformation i vanlig form.
Maxwells ekvationer och potential.
Inför jag biquaternionen
v = fl-i£ = cH + x-i(cE + ?)F) (22)
där H och E beteckna magnetiska och elektriska
fält-styrkorna, och specialiserar:
(fF = 0, y« = — QX=— I, x = c2 Q (23)
(där I = q v betecknar strömstyrkan, v hastigheten,
q laddningen)
så erhåller jag Maxwells fältekvationer i den
koncentrerade formen
A X rp = 0 (24)
för den tomma rymden.
Inför jag potentialet
®tt = — c (An + i <Pu) (25)
där
H = rot Am> — E = -Åm+V9>m (26)
erhåller jag
y> ■■
0 *
□ ■■
0 (27)
och enligt (10):
H
iE=-Rot<Z>M, — x=Div <PM,
c
yj = Rot ø M — Div
samt den fyrdimensionella strömmen
(28)
/»f==I + ißC = — Ax« = C()X(H—i E) =
V
_,A
A
^ X Rot
A
V
X Div <T>.
y S\ MV -±>M = y Ai/1» VfM
Däremot passar det va.nliga antagandet
V Am + ~ <pn = ~ Öiv <I>M = 0
(29)
(30)
icke in i quaternionsystemet, varför jag ej begagnar
mig härav.
På samma sätt kunna uttrycken för Poynting’s
vektor, energien, Maxwells spänningstensor, lagen om
impulsens bestånd osv. omgestaltas, och vidare
betraktelser anställas om elektroners rörelse,
relativi-tetsmekaniken osv., osv. Redan Maxwells tensor
inför emellertid storheter av tredje ordningen. För att
i det längsta undgå mer komplicerade hyperkomplexa
65
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
